Предприятие специализируется по выпуску продукции трех видов Р1, Р2 и Р3; при этом использует сырье трех типов: S1, S2 и S3 . Норма и объем расхода каждого типа сырья на 1 день заданы таблицей. Найдите ежедневный объем выпуска каждого вида продукции.
Для решения данной задачи можно воспользоваться методом анализа уравнения баланса.
Для начала, необходимо создать систему уравнений, которая будет описывать баланс производства продукции и расход сырья:
Пусть x1, x2, x3 - ежедневный объем производства продукции Р1, Р2 и Р3 соответственно.
Также пусть s1, s2, s3 - ежедневный объем использования сырья S1, S2 и S3 соответственно.
Тогда система уравнений для описания баланса будет выглядеть следующим образом:
Решая данную систему уравнений, мы можем найти значения s1 и s2. Подставляя эти значения в оставшиеся уравнения, мы можем найти значения s3, x1, x2 и x3.
Последовательно решая систему, мы получим ежедневный объем выпуска каждого вида продукции и ежедневный объем использования сырья.
Для начала, необходимо создать систему уравнений, которая будет описывать баланс производства продукции и расход сырья:
Пусть x1, x2, x3 - ежедневный объем производства продукции Р1, Р2 и Р3 соответственно.
Также пусть s1, s2, s3 - ежедневный объем использования сырья S1, S2 и S3 соответственно.
Тогда система уравнений для описания баланса будет выглядеть следующим образом:
x1 + x2 + x3 = 500 (1) (произведенная продукция должна равняться 500)
10s1 + 20s2 + 30s3 = 3000 (2) (затраты сырья должны равняться 3000)
25s1 + 15s2 + 10s3 = 3200 (3) (затраты сырья должны равняться 3200)
40s1 + 25s2 + 10s3 = 5000 (4) (затраты сырья должны равняться 5000)
Теперь мы имеем систему уравнений с четырьмя уравнениями и шестью неизвестными (x1, x2, x3, s1, s2, s3).
Чтобы найти решение этой системы, нужно воспользоваться методом Гаусса или другим методом решения систем линейных уравнений.
Произведем некоторые преобразования для удобства расчетов (вычетание одного уравнения из другого):
(2) - (3): (10s1 + 20s2 + 30s3) - (25s1 + 15s2 + 10s3) = (3000 - 3200)
-15s1 + 5s2 + 20s3 = -200 (5)
(4) - (2): (40s1 + 25s2 + 10s3) - (10s1 + 20s2 + 30s3) = (5000 - 3000)
30s1 + 5s2 - 20s3 = 2000 (6)
Теперь, используя уравнение (1), мы можем выразить x1 в терминах x2 и x3:
x1 = 500 - x2 - x3 (7)
Подставим значения x1 и уравнений (5) и (6) в уравнение (7):
500 - x2 - x3 + 15s1 - 5s2 - 20s3 = 0 (8)
30s1 + 5s2 - 20s3 = 2000 (9)
Составим матрицу, используя коэффициенты перед переменными x2, x3, s1, s2, s3 в уравнениях (8) и (9):
[ -1 -1 15 -5 -20 ]
[ 0 0 30 5 -20 ]
Наша цель - привести эту матрицу к ступенчатому виду, чтобы найти значения переменных.
Применяем элементарные преобразования к этой матрице:
-1 * (2) + (1): -1 * (0) - (1) + 1 * (30 * (-1)) + (-1) * (5 * (-1)) + 1 * (-20 * (-1)) = 0
15s1 - 5s2 - 20s3 = 200 + 1 - 30 + 5 + 20
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
15s1 - 5s2 - 20s3 = 186
30s1 + 5s2 - 20s3 = 2000
Применим элементарные преобразования:
1/5 * (1): 3s1 - s2 - 4s3 = 37.2
1/5 * (2): 6s1 + s2 - 4s3 = 400
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
3s1 - s2 - 4s3 = 37.2
6s1 + s2 - 4s3 = 400
Применим элементарные преобразования:
2/9 * (1): 2/9 * (3s1 - s2 - 4s3) = 2/9 * 37.2
5/9 * (2): 5/9 * (6s1 + s2 - 4s3) = 5/9 * 400
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
2/3s1 - 2/9s2 - 8/9s3 = 8.2
10/3s1 + 5/9s2 - 20/9s3 = 222.22
Применим элементарные преобразования:
2 * (2) - (1): 2 * (10/3s1 + 5/9s2 - 20/9s3) - (2/3s1 - 2/9s2 - 8/9s3) = 2 * 222.22 - 8.2
20/3s1 + 10/9s2 - 40/9s3 - 2/3s1 + 2/9s2 + 8/9s3 = 444.44 - 8.2
20/3s1 - 10/9s2 = 436.24
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
20/3s1 - 10/9s2 = 436.24
Решая данную систему уравнений, мы можем найти значения s1 и s2. Подставляя эти значения в оставшиеся уравнения, мы можем найти значения s3, x1, x2 и x3.
Последовательно решая систему, мы получим ежедневный объем выпуска каждого вида продукции и ежедневный объем использования сырья.