Question

Система из трех уравнений с тремя переменными, заданная в матричном виде АХ = В, несовместна в следующих случаях:

Answer 1

Для того чтобы понять, в каких случаях система из трех уравнений с тремя переменными, заданная в матричном виде АХ = В, является несовместной, нам нужно рассмотреть данную матрицу и ее свойства.

Данная система представлена в виде матрицы:

| 1 2 3 | | x | | 1 |
| 4 5 6 | * | y | = | 2 |
| 7 8 9 | | z | | 3 |

Обратите внимание, что система имеет вид AX = B, где А - матрица коэффициентов, X - вектор переменных (x, y, z) и В - вектор свободных членов (1, 2, 3).

Система будет несовместной, то есть не будет иметь решений, в следующих случаях:

1. Если матрица А является вырожденной, то есть ее определитель равен нулю. В данном случае, чтобы вычислить определитель матрицы, можно использовать правило треугольников Саррюса:

Определитель = (1 * 5 * 9) + (2 * 6 * 7) + (3 * 4 * 8) - (3 * 5 * 7) - (2 * 4 * 9) - (1 * 6 * 8)

Выполнив вычисления, мы получаем:

Определитель = 45 + 84 + 96 - 105 - 72 - 48 = 0

Таким образом, определитель матрицы А равен нулю, что означает, что матрица является вырожденной и система несовместна.

2. Еще один вариант, когда система будет несовместной, это когда вектор B не принадлежит положительно определенному пространству столбцов матрицы А. Для определения этого условия, воспользуемся критерием Сильвестра.

Данный критерий гласит, что система будет несовместной, если количество отрицательных углов в последовательности главных миноров матрицы А не равно количеству переменных в системе.

Однако, в данном конкретном случае, последовательность главных миноров равна:

М1 = 1 (детерминант матрицы А) = 1
М2 = | 1 2 |
| 4 5 | = 1 * 5 - 4 * 2 = -3
М3 = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 | = 1 * (5 * 9 - 6 * 8) - 2 * (4 * 9 - 6 * 7) + 3 * (4 * 8 - 5 * 7) = 0

В данном случае, последовательность главных миноров не имеет отрицательные значения, так как М3 = 0.

Итак, система является несовместной только при условии, что определитель матрицы А равен нулю.