Question

С логарифмического дифференцирования вычислите производные данной функции

Answer 1

$y' = ( ln(y))' \times y$

$( ln(y))' = ( ln( { \sin( \sqrt{x} ) }^{ {e}^{ \frac{1}{x} } } )' = ( {e}^{ \frac{1}{x} } \times ln( \sin( \sqrt{x} ) ) ) '= \\ = - \frac{1}{ {x}^{2} } {e}^{ \frac{1}{x} } ln( \sin( \sqrt{x} ) ) + \frac{1}{ \sin( \sqrt{x} ) } \cos( \sqrt{x} ) \times \frac{1}{2 \sqrt{x} } \times {e}^{ \frac{1}{x} } = \\ = {e}^{ \frac{1}{x} } ( - \frac{ ln( \sin( \sqrt{x} ) ) }{ {x}^{2} } + \frac{ctg( \sqrt{x}) }{2 \sqrt{x} } )$

$y' = { \sin( \sqrt{x} ) }^{ {e}^{ \frac{1}{x} } } \times {e}^{ \frac{1}{x} } ( \frac{ctg \sqrt{x} }{2 \sqrt{x} } - \frac{ ln( \sin( \sqrt{x} ) ) }{ {x}^{2} } ) \\$