Question

Дискретна математика
Довести:

Answer 1

10. У нас дано, что A⊂B.

Докажем, что (C\B)⊂(C\A).

Доказательство.

Пусть x∈C\B, тогда x∈C и x∉B,

если x∉B, то (т.к. A⊂B) x∉A, имеем

x∈C и x∉A, => x∈C\A.

чтд.

11. Доказательство "⇒".

Пусть у нас дано (A∪B = A∩B), докажем тогда, что A = B.

Доказательсво. Пусть x∈A, тогда x∈AUB, но т.к. A∪B = A∩B, то

x∈A∩B, и т.к. A∩B⊂B,  имеем x∈B. Мы доказали сейчас, что А⊂B.

Теперь докажем, что B⊂A. Доказательство аналогичное:

пусть x∈B, => x∈A∪B, т.к. A∪B = A∩B, то x∈A∩B, т.к. A∩B⊂A, => x∈A.

Итак, B⊂A.

Т.к. A⊂B и B⊂A, ⇔ A = B. чтд.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано A = B, докажем тогда, что A∪B = A∩B.

Если A = B, то A∪B = B∪B = B, и A∩B = B∩B = B,

то есть A∪B = B = A∩B.

чтд.

12. Доказательство "=>"

Пусть у нас дано $A = B^c$, докажем тогда, что

(A∩B = ∅) и (A∪B = U).

Доказательство. $B^c$ это по определению есть U\B, где U - универсальное множество, то есть у нас дано

A = U\B, тогда

A∩B = (U\B)∩B,

если x∈A∩B, то x∈A и x∈B, то есть x∈U\B и x∈B, то есть

x∈U и x∉B, и x∈B,

x не может одновременно и принадлежать B и не принадлежать B, то есть такого x не существует, то есть x∈∅, мы доказали, что A∩B ⊂∅, но тогда A∩B = ∅.

теперь докажем, что A∪B = U,

Очевидно, что A∪B ⊂U,

докажем, что U⊂A∪B (при условии $A= B^c$ ).

если x∈U, тогда x∈B или x∉B,

( если x∉B, тогда x∈$B^c$ ), имеем

x∈B или x∈$B^c$

но т.к. $B^c = A$

имеем

x∈B или x∈A, то есть

x∈A∪B.

Мы доказали, что U⊂A∪B, и что A∪B⊂U (очевидное утверждение)

Итак, A∪B = U.

Доказательство "<=".

Пусть у нас дано: (A∩B = ∅) и (A∪B = U). Докажем, что $A = B^c$

Доказательство. Пусть x∈A, при этом возможны два варианта:

x∈B или x∉B, то есть x∈B или x∈$B^c$.

Если x∈B, тогда имеем x∈A∩B = ∅⊂$B^c$

либо же x∈$B^c$ и x∈A, ⇔ x∈A∩ $B^c$ ⊂$B^c$,

то есть если x∈A => x∈$B^c$

Пусть x∈$B^c$, тогда x∈U\B, что значит x∈U и x∉B,

но т.к. U = A∪B, то имеем x∈A∪B и x∉B, то есть имеем

(x∈A или x∈B) и x∉B

если x∈A и x∉B, ⇔ x∈A\B ⊂ A, => x∈A,

если же x∈B и x∉B, то x∈∅ ⊂A, то есть x∈A,

итак $B^c$⊂A.

Мы доказали, что   A⊂$B^c$, и

$A = B^c$.

чтд.