На заводе консервной продукции из партии в 11 000 банок взято на контроль качества 550 банок (случайный, бесповторный отбор), из них 20 оказались бракованными. Определите с вероятностью 0,997 возможный размер убытка от производства бракованной продукции, если известно, что прямые затраты на производство одной банки составляют 19,75 руб.
Предмет теория статистики
1. Биномиальное распределение:
Биномиальное распределение применяется в ситуациях, когда нам известно количество испытаний n, вероятность успеха p и мы хотим рассчитать вероятность получить k успешных исходов из n испытаний. В данной задаче у нас n = 550 (количество банок, взятых на контроль) и p = 20/550 (вероятность бракованных банок).
2. Доверительный интервал:
Доверительный интервал позволяет оценить неизвестный параметр популяции (в данном случае размер убытка от производства бракованной продукции) на основе выборочных данных. В данной задаче нам нужно найти доверительный интервал для параметра p с вероятностью 0.997.
Шаги решения задачи:
1. Рассчитаем значение вероятности p. Количество бракованных банок (k) равно 20, количество всех банок на контроле (n) равно 550. Тогда p = k / n = 20 / 550 = 0.0364.
2. Рассчитаем дисперсию биномиального распределения с помощью формулы: Var(X) = n * p * (1 - p), где X - случайная величина, представляющая количество бракованных банок. В данном случае n = 550 и p = 0.0364. Тогда Var(X) = 550 * 0.0364 * (1 - 0.0364) ≈ 20.0305.
3. Найдем стандартное отклонение биномиального распределения по формуле: StdDev(X) = sqrt(Var(X)), где StdDev(X) - стандартное отклонение случайной величины X. В нашем случае StdDev(X) = sqrt(20.0305) ≈ 4.48.
4. Найдем значение доверительного интервала для параметра p с помощью стандартного отклонения и нормального распределения. Для этого воспользуемся правилом трех сигм: 3 * StdDev(X) = 3 * 4.48 ≈ 13.44.
5. Доверительный интервал для параметра p будет иметь вид: [p - 3 * StdDev(X), p + 3 * StdDev(X)] = [0.0364 - 3 * 4.48, 0.0364 + 3 * 4.48] = [-12.88, 12.96].
6. Так как размер убытка не может быть отрицательным, возможный размер убытка от производства бракованной продукции с вероятностью 0.997 будет лежать в интервале [0, 12.96].
7. Для определения фактического размера убытка необходимо умножить вероятность получить бракованную продукцию на прямые затраты на производство одной банки. В данной задаче размер убытка будет вычисляться как 0.0364 * 19.75 ≈ 0.72 рубля.
Таким образом, с вероятностью 0.997 возможный размер убытка от производства бракованной продукции будет лежать в интервале [0, 12.96] и составит примерно 0.72 рубля.