Question

найти частное решение рекуррентного уравнения (далее в скобках нижний индекс) Y(i+2)=-2Y(i+1)-Y(i). Начальные условия Y0=1, Y1=0

Answer 1

$Y_i=(-1)^{i+1}(i-1)$

Пошаговое объяснение:

$Y_{i+2}=-2Y_{i+1}-Y_i \\ \\ Y_{i+2}+2Y_{i+1}+Y_i=0$

Найдем решение с характеристического уравнения:

$k^2+2k+1=0 \\ (k+1)^2=0 \\ k_{1,2}=-1 \\ \\ Y_i=C_1(-1)^i+C_2i(-1)^i$

Найдем С₁ и С₂ из начальных условий:

$\left\{\begin{matrix} Y_0=1 \\ Y_1=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1(-1)^0+C_2*0*(-1)^0=1 \\ C_1(-1)^1+C_2*1*(-1)^1=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ -C_1-C_2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ -1-C_2=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} C_1=1 \\ C_2=-1\end{matrix}\right.$

$Y_i=(-1)^i-i(-1)^i=(-1)^i(1-i)=-(-1)^i(i-1)=(-1)^{i+1}(i-1)$