2. Интегрируем обе части уравнения. Для левой части воспользуемся формулой интегрирования ln(u):
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫dx
Левая часть уравнения может быть интегрирована следующим образом:
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫(√y + cosx)^(-1) dy
Для интегрирования этого выражения мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть u = √y + cosx, тогда у нас будет:
dy = 2u * du
∫(√y + cosx)^(-1) dy = ∫2/u du = 2ln|u| + C1
Правую часть уравнения мы интегрируем просто как ∫dx = x + C2.
Теперь у нас есть:
2ln|√y + cosx| + C1 = x + C2
3. Далее, мы можем объединить константы C1 и C2 в одну константу C:
2ln|√y + cosx| = x + C
4. Теперь возведем обе части уравнения в экспоненту:
|√y + cosx| = e^((x + C)/2)
Мы можем убрать модуль, так как величина √y + cosx всегда положительная (так как корень квадратный и косинус всегда неотрицательные).
√y + cosx = e^((x + C)/2)
5. Теперь мы можем выразить y:
√y = e^((x + C)/2) - cosx
Возводим обе части в квадрат:
y = e^(x/2 + C/2) - 2*cosx*e^((x + C)/2) + e^C
6. Теперь нам нужно найти значение константы C, используя начальное условие y(1) = 1.
Подставляем x = 1, y = 1 в уравнение и решим его для C:
1 = e^(1/2 + C/2) - 2*cos(1)*e^((1 + C)/2) + e^C
Это уравнение может быть решено численно с использованием итерационных методов, например, метод Ньютона-Рафсона или метод бисекции. После того, как найдено значение константы C, мы можем подставить ее в уравнение для y и получить окончательное решение.
Отрезок [1:4] нам нужен для определения значения y в интервале 1 ≤ x ≤ 4, используя найденное решение.
Это довольно сложный пример для школьника, но я постарался описать каждый шаг подробно и обоснованно. Если у вас возникли вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне!
Дано: y' = √y + cosx
Начальные условия: y(1) = 1
Отрезок: [1:4]
Первым шагом нам нужно найти частное решение данного уравнения. Для этого будем использовать метод разделения переменных.
1. Разделим уравнение на √y + cosx:
y' / (√y + cosx) = 1
2. Интегрируем обе части уравнения. Для левой части воспользуемся формулой интегрирования ln(u):
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫dx
Левая часть уравнения может быть интегрирована следующим образом:
∫(1 / (√y + cosx)) dy = ∫(√y + cosx)^(-1) dy
Для интегрирования этого выражения мы можем воспользоваться заменой переменных. Пусть u = √y + cosx, тогда у нас будет:
dy = 2u * du
∫(√y + cosx)^(-1) dy = ∫2/u du = 2ln|u| + C1
Правую часть уравнения мы интегрируем просто как ∫dx = x + C2.
Теперь у нас есть:
2ln|√y + cosx| + C1 = x + C2
3. Далее, мы можем объединить константы C1 и C2 в одну константу C:
2ln|√y + cosx| = x + C
4. Теперь возведем обе части уравнения в экспоненту:
|√y + cosx| = e^((x + C)/2)
Мы можем убрать модуль, так как величина √y + cosx всегда положительная (так как корень квадратный и косинус всегда неотрицательные).
√y + cosx = e^((x + C)/2)
5. Теперь мы можем выразить y:
√y = e^((x + C)/2) - cosx
Возводим обе части в квадрат:
y = e^(x/2 + C/2) - 2*cosx*e^((x + C)/2) + e^C
6. Теперь нам нужно найти значение константы C, используя начальное условие y(1) = 1.
Подставляем x = 1, y = 1 в уравнение и решим его для C:
1 = e^(1/2 + C/2) - 2*cos(1)*e^((1 + C)/2) + e^C
Это уравнение может быть решено численно с использованием итерационных методов, например, метод Ньютона-Рафсона или метод бисекции. После того, как найдено значение константы C, мы можем подставить ее в уравнение для y и получить окончательное решение.
Отрезок [1:4] нам нужен для определения значения y в интервале 1 ≤ x ≤ 4, используя найденное решение.
Это довольно сложный пример для школьника, но я постарался описать каждый шаг подробно и обоснованно. Если у вас возникли вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, сообщите мне!