Question

Исследовать ряд на сходимость

Answer 1

Пошаговое объяснение:

6)

$\displaystyle \sum \limits ^{\infty}_{n=1} {\frac{3n-1}{n*7^n} }$

признак Даламбера

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg (\frac{3(n+1)-1}{\sqrt{(n+1)7^{n+1}} } :\frac{3n-1}{\sqrt{n*7^n} } \bigg)= \lim_{n \to \infty}\sqrt{\frac{(3n-2)^2*n*7^n}{(3n-1)^2(n+1)7^{n+1}} } =$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{7} } \lim_{n \to \infty} \frac{3n+2}{3n-1} * \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n+1} } =\frac{1}{\sqrt{7} } *1*1=\frac{1}{\sqrt{7} }$

q < 1 ⇒ ряд сходится.

7)

$\displaystyle \sum \limits^{\infty}_{n=1}\frac{2+n}{4+n^2-n}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2+n}{4 +n^2-n}= \lim_{n \to \infty} \bigg(\frac{n}{n^2} *\frac{1+\frac{2}{n} }{1-\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2} } \bigg )= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$

в обшем-то мы получили обобщенный гармонический ряд, который, как известно, расходится

но, тем не иенее...

проверим сходимость ряда при интегрального признака сходимости Коши.

несобственный интеграл

$\displaystyle \int\limits^{\infty}_1 {\frac{1}{n} } \, dn = ln(n)\bigg \vert_1^{\infty}= \lim_{n \to \infty}(ln(n)-0)=\infty-0=\infty$

и вот несобственный интеграл расходится, значит расходится и исследуемый ряд