Сосуд, имеющий форму расширяющегося усеченного конуса с радиусом на R = 0,1 м углом наклона стенок a = 60°, вращается вокруг вертикальной оси OO¹ (см. рис). Маленький шарик, лежащий на дне сосуда, будет выброшен из него при минимальной угловой скорости вращения сосуда, равной рад/с, (Трение шарика о стенки сосуда не учитывать, Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с²)
Для решения данной задачи, нам необходимо использовать законы сохранения энергии.
Пусть h - высота сосуда, на которой находится шарик. Тогда высота соответствующего конуса равна h - R. Обозначим массу шарика через m.
Когда шарик выбрасывается из сосуда, у его полной механической энергии E есть две составляющие: кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U.
С учетом потенциальной энергии задача сводится к движению шарика по окружности (вращению сосуда), и его кинетическая энергия связана с угловой скоростью вращения конуса:
mgh = (1/2)mv^2
m - масса шарика
g - ускорение свободного падения
h - высота сосуда
Также, длина дуги окружности, по которой двигается шарик, равна 2πR, где R - радиус дна сосуда.
Выразим угловую скорость вращения конуса через угловую скорость шарика:
v = ωR
где ω - угловая скорость шарика, R - радиус шарика.
Так как окружность имеет 2π радианов, то количество полных оборотов, совершаемых шариком, равно h/(2πR).
Таким образом, угловая скорость вращения конуса равна:
ω = 2π(h/(2πR)) = h/R
Подставим полученное значение угловой скорости в уравнение сохранения энергии:
mgh = (1/2)m(ωR)^2
Умножая обе части уравнения на (2/R^2), получим:
2gh/R = ω^2
Подставим значения из условия задачи: R = 0.1 м и a = 60°:
α = 60°
α = 60° * π/180 = π/3 рад
Так как угол наклона стенок сосуда равен углу а, то соотношение между радиусами конуса можно записать как:
R/h = tan(α)
R/h = tan(π/3)
Используя тригонометрическую формулу:
1/√3 = R/h
Таким образом, выражаем h через R:
h = R / √3
Подставляем значение h в полученное уравнение:
2gh/R = ω^2
2 * 10 * R / √3R = ω^2
20 / √3 = ω^2
ω = √(20/√3)
После всех математических выкладок получаем, что минимальная угловая скорость вращения сосуда, необходимая для выбрасывания шарика из него, равна √(20/√3) рад/с.
Пусть h - высота сосуда, на которой находится шарик. Тогда высота соответствующего конуса равна h - R. Обозначим массу шарика через m.
Когда шарик выбрасывается из сосуда, у его полной механической энергии E есть две составляющие: кинетическая энергия Т и потенциальная энергия U.
С учетом потенциальной энергии задача сводится к движению шарика по окружности (вращению сосуда), и его кинетическая энергия связана с угловой скоростью вращения конуса:
mgh = (1/2)mv^2
m - масса шарика
g - ускорение свободного падения
h - высота сосуда
Также, длина дуги окружности, по которой двигается шарик, равна 2πR, где R - радиус дна сосуда.
Выразим угловую скорость вращения конуса через угловую скорость шарика:
v = ωR
где ω - угловая скорость шарика, R - радиус шарика.
Так как окружность имеет 2π радианов, то количество полных оборотов, совершаемых шариком, равно h/(2πR).
Таким образом, угловая скорость вращения конуса равна:
ω = 2π(h/(2πR)) = h/R
Подставим полученное значение угловой скорости в уравнение сохранения энергии:
mgh = (1/2)m(ωR)^2
Умножая обе части уравнения на (2/R^2), получим:
2gh/R = ω^2
Подставим значения из условия задачи: R = 0.1 м и a = 60°:
α = 60°
α = 60° * π/180 = π/3 рад
Так как угол наклона стенок сосуда равен углу а, то соотношение между радиусами конуса можно записать как:
R/h = tan(α)
R/h = tan(π/3)
Используя тригонометрическую формулу:
1/√3 = R/h
Таким образом, выражаем h через R:
h = R / √3
Подставляем значение h в полученное уравнение:
2gh/R = ω^2
2 * 10 * R / √3R = ω^2
20 / √3 = ω^2
ω = √(20/√3)
После всех математических выкладок получаем, что минимальная угловая скорость вращения сосуда, необходимая для выбрасывания шарика из него, равна √(20/√3) рад/с.