Question

Найдите сумму X0+Y0, где (X0;Y0)- решение системы уравнений {log2 (x-y) = 5- log2 (x+y)
{(lg x - lg 4)/(lg y - lg3)=-1

Answer 1

Пошаговое объяснение:

сперва разберемся с первым уравнением системы

log₂(x-y) = 5- log₂(x+y)

представим 5 в виде log₂2⁵

тогда у нас получится

log₂(x-y) =  log₂2⁵- log₂(x+y)

или

$\displaystyle log_2(x-y) = log_2(\frac{32}{x+y} ); \quad \Rightarrow x-y = \frac{32}{x+y} \quad \Rightarrow (x-y)(x+y)=32$

x² - y² = 32     это первое уравнение нашей системы

теперь рассмотрим второе уравнение

$\displaystyle \frac{lg(x)-lg(4)}{lg(y) -lg(3)} =-1; \quad \Rightarrow lg(\frac{x}{4}): lg(\frac{y}{3}) =-1; \quad \Rightarrow lg(\frac{x}{4})=lg(\frac{y}{3})^{-1}$

$\displaystyle \frac{x}{4} =\frac{3}{y}$   ⇒  xy = 12  и это второе уравнение нашей системы

тогда мы имеем

$\displaystyle \left \{ {{x^2-y^2=32} \atop {xy=12 \hfill}} \right.$

вот в общем-то и всё. дальше чисто вычисления

из второго выражаем  х= 12/у  и подставляем в первое

$\displaystyle \frac{144}{y^2} - y^2=32; \quad \Rightarrow -y^4-32y^2 +144=0; \quad (z=y^2); \quad \Rightarrow -z^2-32z+144=0$

z₁=4;  z₂ = -36    

z₂ нас не интересует, поскольку у₂ не может быть < 0

z = 4 ⇒  y = ± 4

y₁ = -2  x₁ = 12/(-2)= -6  но по определению логарифма должно быть

x >0 b y > 0, значит эта пара корней нам не подходит

y₂ = 2  x₂ = 12/(2)= 6 проверяем на все огараничения

x - y  > 0 x >  y     выполняется

х, у > 0       выполняется

эта пара и есть корни нашей системы

$\displaystyle \left \{ {{x_0=6} \atop {y_0 =2}} \right.$

тогда ответ    

х₀ + у₀ = 8

зеленый график это уравнение  log₂(x-y) = 5- log₂(x+y)

фиолетовый график это уравнение        $\displaystyle \frac{lg(x)-lg(4)}{lg(y)-lg(3)} =-1$

на втором рисунке более общий вид графиков