Question

Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1) y-xy'=x*sec(y/x)

2) xy'=y-x*e^(y/x)

Answer 1

Конечно, я помогу вам с решением этих дифференциальных уравнений. Давайте начнем с первого уравнения:

1) y - xy' = x * sec(y/x)

Для начала давайте заменим переменные. Пусть u = y/x, тогда y = ux. Заменим y и y' в исходном уравнении:

ux - x(du/dx) = x * sec(ux/x)
ux - x(du/dx) = x * sec(u)

Теперь преобразуем уравнение, чтобы оно стало более простым:

ux - x(du/dx) = x * (1/cos(u))

Разделим оба выражения на x, чтобы получить:

u - (du/dx) = 1/cos(u)

Давайте переместим все члены с u на одну сторону и все члены с x на другую:

u - 1/cos(u) = (du/dx)

Теперь давайте разделим уравнение на (u - 1/cos(u)):

(dx)/(du) = 1/(u - 1/cos(u))

Заметим, что это уравнение разделяющихся переменных. Разделим обе части уравнения:

dx = (1/(u - 1/cos(u))) * du

Теперь, давайте проинтегрируем обе части уравнения:

∫dx = ∫(1/(u - 1/cos(u))) * du

Интегрирование может быть довольно сложным для этого уравнения, однако мы можем сделать замену переменной z = u - 1/cos(u), чтобы упростить его:

∫dx = ∫(1/z) * du

Теперь, чтобы проинтегрировать это уравнение, нам нужно использовать метод интегрирования по частям:

∫dx = ∫(1/(z)) * du
x = ∫(1/(z)) * du
x = ln|z| + C

Теперь, вернемся к изначальной замене переменной:

z = u - 1/cos(u)

И подставим обратно значение z в уравнение:

x = ln|(u - 1/cos(u))| + C

Таким образом, общим решением этого уравнения является:

y = (xln|(y/x - 1/cos(y/x))|) + C

Теперь перейдем ко второму уравнению:

2) xy' = y - xe^(y/x)

Для начала, давайте заменим переменные и введем новую переменную z = y/x, тогда y = zx.

Заменим y и y' в исходном уравнении:

x(dz/dx) = zx - xe^(zx/x)

Разделим уравнение на x:

(dz/dx) = z - e^(z)

Для этого уравнения, у нас есть нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка. К сожалению, нет простого аналитического общего решения для этого уравнения. Однако, мы можем найти приближенное решение, используя численные методы или разложение в ряд Тейлора.