Question

Найти полный дифференциал указанной функции z=cos(x^2-y^2)+x^3

Answer 1

Хорошо, давайте рассмотрим решение вашей задачи.

Для начала нам понадобятся формулы для вычисления полного дифференциала. Полный дифференциал функции z(x, y) выражается следующим образом:

dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy,

где ∂z/∂x и ∂z/∂y - частные производные функции z по переменным x и y соответственно.

Теперь посмотрим на вашу функцию z = cos(x^2 - y^2) + x^3. Нам нужно найти ее полный дифференциал.

1. Вычислим ∂z/∂x:
Для этого возьмем частную производную функции по x, считая y постоянной:
∂z/∂x = ∂(cos(x^2 - y^2))/∂x + ∂(x^3)/∂x.

Дифференцируем каждый член по отдельности:
∂(cos(x^2 - y^2))/∂x = -sin(x^2 - y^2) * 2x,
∂(x^3)/∂x = 3x^2.

Таким образом, ∂z/∂x = -2x * sin(x^2 - y^2) + 3x^2.

2. Вычислим ∂z/∂y:
Теперь возьмем частную производную функции по y, считая x постоянной:
∂z/∂y = ∂(cos(x^2 - y^2))/∂y + ∂(x^3)/∂y.

Дифференцируем каждый член по отдельности:
∂(cos(x^2 - y^2))/∂y = sin(x^2 - y^2) * 2y,
∂(x^3)/∂y = 0 (так как x^3 не зависит от переменной y).

Таким образом, ∂z/∂y = 2y * sin(x^2 - y^2).

3. Собираем полный дифференциал:
Используем формулу dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy и подставляем выражения для ∂z/∂x и ∂z/∂y:
dz = (-2x * sin(x^2 - y^2) + 3x^2) * dx + 2y * sin(x^2 - y^2) * dy.

Таким образом, полный дифференциал функции z = cos(x^2 - y^2) + x^3 равен:
dz = (-2x * sin(x^2 - y^2) + 3x^2) * dx + 2y * sin(x^2 - y^2) * dy.

Это и есть ответ на ваш вопрос. Если у вас возникнут дополнительные вопросы — не стесняйтесь задавать!