На заводе кондитерских изделий стоят 20 конвейеров для производства батончиков с нугой и батончиков с нугой и орехами. Если n конвейеров работают на производство батончиков с нугой, то за сутки используется 5n^2кг нуги. Если n конвейеров работают на производство батончиков с нугой и орехами, то за сутки используется 4n^2 кг нуги. Как нужно распределить на эти виды батончиков конвейеры, чтобы расход нуги за сутки был наименьшим? Какое количество нуги будет при этом израсходованно?
Пусть x - количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой.
Тогда количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой и орехами будет равно (20 - x), так как всего на заводе стоит 20 конвейеров.
Согласно условию задачи, расход нуги за сутки при использовании n конвейеров на производство батончиков с нугой составит 5n^2 кг, а при использовании n конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами составит 4n^2 кг.
Теперь мы можем выразить расход нуги за сутки в зависимости от x.
Расход нуги при использовании x конвейеров на производство батончиков с нугой будет равен 5x^2 кг.
Расход нуги при использовании (20 - x) конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами будет равен 4(20 - x)^2 кг.
Теперь нужно найти значения x, при которых расход нуги за сутки будет наименьшим.
Для этого найдем производные от выражений расхода нуги по x и приравняем их к нулю:
d(5x^2)/dx = 10x
d(4(20 - x)^2)/dx = -8(20 - x)
Приравняем полученные производные к нулю и решим полученное уравнение:
10x = -8(20 - x)
10x = -160 + 8x
2x = -160
x = -80
Ответ x = -80 не подходит в данном случае, так как количество конвейеров не может быть отрицательным. Значит, ошибка в решении.
Попробуем решить задачу иначе:
Так как нам нужно найти минимальный расход нуги за сутки, мы можем воспользоваться методом поиска экстремумов функции.
Расход нуги при использовании x конвейеров на производство батончиков с нугой равен 5x^2 кг.
Расход нуги при использовании (20 - x) конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами равен 4(20 - x)^2 кг.
Суммируем оба расхода нуги и получим:
f(x) = 5x^2 + 4(20 - x)^2
Теперь нужно найти экстремумы функции f(x) для заданного интервала значений x.
Для этого найдем первую производную функции f(x):
f'(x) = 10x - 8(20 - x) = 10x - 160 + 8x = 18x - 160
Прировняем первую производную к нулю и найдем x:
18x - 160 = 0
18x = 160
x = 160/18
x = 8.89
Значит, количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой, должно быть округлено до ближайшего целого числа, то есть равно 9.
Количество конвейеров, работающих на производство батончиков с нугой и орехами, будет равно (20 - 9) = 11.
Теперь найдем значение минимального расхода нуги за сутки, подставив найденные значения в первоначальные выражения:
Расход нуги при использовании 9 конвейеров на производство батончиков с нугой:
5 * (9^2) = 405 кг нуги.
Расход нуги при использовании 11 конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами:
4 * (11^2) = 484 кг нуги.
Таким образом, для минимального расхода нуги за сутки нам необходимо использовать 9 конвейеров на производство батончиков с нугой и 11 конвейеров на производство батончиков с нугой и орехами. При этом будет использовано 405 кг нуги.