Question

Найдите точку максимума функции y=x3-48+14.

Answer 1

Чтобы найти точку максимума функции, мы должны применить теорию производных и найти экстремум функции.

Для начала, представим данную функцию y = x³ - 48x + 14 в виде полинома второй степени, чтобы использовать методы дифференцирования.

Мы знаем, что производная функции y'= 3x² - 48.

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x² - 48 = 0.

Перенесем -48 на другую сторону уравнения:

3x² = 48.

Далее, разделим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от коэффициента 3:

x² = 16.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

x = ±√16.

Следовательно, x может быть равно 4 или -4.

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив значения x в исходную функцию:

- Для x = 4:
y = (4)³ - 48(4) + 14 = 64 - 192 + 14 = - 114.

- Для x = -4:
y = (-4)³ - 48(-4) + 14 = -64 + 192 + 14 = 142.

Таким образом, у нас есть две точки - (4, -114) и (-4, 142).

Теперь нужно определить, является ли точка (4, -114) точкой максимума или минимума. Для этого можно посмотреть знак второй производной функции.

Возьмем вторую производную функции y’’ = (3x² - 48)’ = 6x.

Подставим x = 4:
y’’ = 6(4) = 24.

Так как значение второй производной функции положительно (y’’ > 0), то точка (4, -114) является точкой минимума.

Таким образом, точка максимума функции y=x³-48x+14 является точкой (-4, 142). В этой точке функция достигает своего максимального значения.