Добрый день! Разберем систему уравнений post-primary.mathdb.org.
Итак, у нас дана система уравнений:
dx/dt = t/y,
dy/dt = -t/x.
Для начала давайте воспользуемся методом разделения переменных. Мы хотим выразить dx и dy через соответствующие переменные и провести параллель между левой и правой частями уравнений.
Преобразуем первое уравнение:
dx/dt = t/y.
Перемножаем обе части уравнения на y:
y * dx/dt = t.
Теперь дифференцируем обе части уравнения по t, для этого нам понадобится правило дифференцирования произведения функций:
d(y * dx)/dt = dt.
Производная произведения функций равна сумме произведений частных производных:
dx/dt * y + x * dy/dt = dt.
Теперь заменим dx/dt и dy/dt на выражения из исходной системы уравнений:
t/y * y + x * (-t/x) = dt.
Упростим:
t + (-t) = dt.
Теперь выполним интегрирование с обеих сторон уравнения:
∫(t - t) dt = ∫dt.
Получаем:
0 = t + C1.
C1 - произвольная постоянная интегрирования. Заметим, что мы не получили никакой новой информации из этого уравнения, так как получили равенство нулю.
Теперь рассмотрим второе уравнение:
dy/dt = -t/x.
Перемножим обе части на x:
x * dy/dt = -t.
Дифференцируем обе части по t, используя правило дифференцирования произведения функций:
dx * dy/dt + x * d(dy)/dt = -dt.
Теперь заменим dy/dt и d(dy)/dt на выражения из исходной системы уравнений:
dx * (-t/x) + x * (-t/x^2) = -dt.
Упростим:
(-t)dx/x + (-t)dx/x^2 = -dt.
Теперь проинтегрируем обе части уравнения:
∫(-t)dx/x + ∫(-t)dx/x^2 = ∫-dt.
Получаем:
-ln|x| - t/x + C2 = -t + C3.
C2 и C3 - произвольные постоянные интегрирования. Объединим произвольные постоянные в одну C.
-ln|x| - t/x + C = -t.
Теперь, чтобы найти решение системы уравнений, рассмотрим уравнение -t = -ln|x| - t/x + C.
Сгруппируем все переменные, связанные с t, на одной стороне уравнения, а все переменные, связанные с x, на другой стороне:
-ln|x| - t + t = C + t/x.
Теперь упростим:
-ln|x| = C + t/x.
Мы получили уравнение -ln|x| = C + t/x, которое связывает x и t.
Для получения окончательного решения системы уравнений, нам нужно иметь еще одно уравнение, связывающее x и t. Без этого мы не сможем найти конкретное решение.
Итак, давайте выполним подстановку новой переменной: u = ln|x|.
Тогда у нас получится новое уравнение: -u = C + t/e^u.
Сейчас полученное уравнение связывает u и t. Однако, если мы хотим найти конкретное решение системы уравнений, нам нужно установить связь между x и t, а не между u и t.
Помните, что мы ввели новую переменную u = ln|x|. Таким образом, мы должны найти u, а затем найти соответствующее x.
Решим новое уравнение для u.
-u = C + t/e^u.
Перенесем все переменные, связанные с u, на одну сторону уравнения:
u + t/e^u = -C.
Теперь упростим:
u + e^(-u)t = -C.
Мы получили уравнение, в котором присутствуют u и t. Теперь мы можем решить его методами численного анализа или приближенными методами, чтобы найти значение u. Затем мы сможем найти соответствующее значение x, так как мы уже установили связь между x и u (u = ln|x|).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения системы уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Итак, у нас дана система уравнений:
dx/dt = t/y,
dy/dt = -t/x.
Для начала давайте воспользуемся методом разделения переменных. Мы хотим выразить dx и dy через соответствующие переменные и провести параллель между левой и правой частями уравнений.
Преобразуем первое уравнение:
dx/dt = t/y.
Перемножаем обе части уравнения на y:
y * dx/dt = t.
Теперь дифференцируем обе части уравнения по t, для этого нам понадобится правило дифференцирования произведения функций:
d(y * dx)/dt = dt.
Производная произведения функций равна сумме произведений частных производных:
dx/dt * y + x * dy/dt = dt.
Теперь заменим dx/dt и dy/dt на выражения из исходной системы уравнений:
t/y * y + x * (-t/x) = dt.
Упростим:
t + (-t) = dt.
Теперь выполним интегрирование с обеих сторон уравнения:
∫(t - t) dt = ∫dt.
Получаем:
0 = t + C1.
C1 - произвольная постоянная интегрирования. Заметим, что мы не получили никакой новой информации из этого уравнения, так как получили равенство нулю.
Теперь рассмотрим второе уравнение:
dy/dt = -t/x.
Перемножим обе части на x:
x * dy/dt = -t.
Дифференцируем обе части по t, используя правило дифференцирования произведения функций:
dx * dy/dt + x * d(dy)/dt = -dt.
Теперь заменим dy/dt и d(dy)/dt на выражения из исходной системы уравнений:
dx * (-t/x) + x * (-t/x^2) = -dt.
Упростим:
(-t)dx/x + (-t)dx/x^2 = -dt.
Теперь проинтегрируем обе части уравнения:
∫(-t)dx/x + ∫(-t)dx/x^2 = ∫-dt.
Получаем:
-ln|x| - t/x + C2 = -t + C3.
C2 и C3 - произвольные постоянные интегрирования. Объединим произвольные постоянные в одну C.
-ln|x| - t/x + C = -t.
Теперь, чтобы найти решение системы уравнений, рассмотрим уравнение -t = -ln|x| - t/x + C.
Сгруппируем все переменные, связанные с t, на одной стороне уравнения, а все переменные, связанные с x, на другой стороне:
-ln|x| - t + t = C + t/x.
Теперь упростим:
-ln|x| = C + t/x.
Мы получили уравнение -ln|x| = C + t/x, которое связывает x и t.
Для получения окончательного решения системы уравнений, нам нужно иметь еще одно уравнение, связывающее x и t. Без этого мы не сможем найти конкретное решение.
Итак, давайте выполним подстановку новой переменной: u = ln|x|.
Тогда у нас получится новое уравнение: -u = C + t/e^u.
Сейчас полученное уравнение связывает u и t. Однако, если мы хотим найти конкретное решение системы уравнений, нам нужно установить связь между x и t, а не между u и t.
Помните, что мы ввели новую переменную u = ln|x|. Таким образом, мы должны найти u, а затем найти соответствующее x.
Решим новое уравнение для u.
-u = C + t/e^u.
Перенесем все переменные, связанные с u, на одну сторону уравнения:
u + t/e^u = -C.
Теперь упростим:
u + e^(-u)t = -C.
Мы получили уравнение, в котором присутствуют u и t. Теперь мы можем решить его методами численного анализа или приближенными методами, чтобы найти значение u. Затем мы сможем найти соответствующее значение x, так как мы уже установили связь между x и u (u = ln|x|).
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять процесс решения системы уравнений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.