Question

Чему равна вероятность отказа устройства, состоящего из трех независимо работающих элементов с соответствующими вероятностями отказа элементов 0,1; 0,2; 0,05, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и принципы вероятности. Поскольку нам нужно найти вероятность отказа устройства, состоящего из трех независимо работающих элементов, у нас есть несколько случаев, которые приведут к отказу устройства.

Пусть A, B и C представляют собой отказ каждого из трех элементов соответственно. Тогда вероятность отказа одного элемента A равна 0,1, B - 0,2, а C - 0,05.

1. Вероятность отказа одного элемента (P(A)): 0,1
2. Вероятность неотказа одного элемента (P(Ā)): 1 - 0,1 = 0,9
3. Вероятность отказа устройства из-за отказа одного элемента (P(A ∪ B ∪ C)): P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Так как элементы независимы друг от друга, вероятность одновременного отказа двух или трех элементов (P(A ∩ B), P(A ∩ C) и P(B ∩ C)) равна произведению вероятностей отказа каждого элемента.

4. Вероятность отказа устройства из-за отказа двух элементов (P(A ∩ B), P(A ∩ C) и P(B ∩ C)): P(A) * P(B) + P(A) * P(C) + P(B) * P(C)
5. Вероятность отказа устройства из-за одновременного отказа всех трех элементов (P(A ∩ B ∩ C)): P(A) * P(B) * P(C)

Теперь мы можем подставить значения вероятностей отказа каждого элемента и вычислить вероятность отказа устройства.

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
= 0,1 + 0,2 + 0,05 - (0,1 * 0,2) - (0,1 * 0,05) - (0,2 * 0,05) + (0,1 * 0,2 * 0,05)
= 0,35 - 0,02 - 0,005 - 0,01 + 0,001
= 0,335

Таким образом, вероятность отказа устройства, состоящего из трех независимо работающих элементов, при условии, что для отказа достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент, равна 0,335 или 33,5%.