Для того чтобы найти постоянную С в данной формуле, нужно воспользоваться условием нормировки. Условие нормировки гласит, что сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна быть равна 1.
В данном случае, нам дано, что вероятность P{ξ=k} равна Ck(k+1). Значит, нам нужно найти сумму всех P{ξ=k} и приравнять ее к 1:
1 = Σ P{ξ=k} = Σ Ck(k+1)
Здесь символ Σ означает сумму, а k принимает все возможные значения. Мы должны просуммировать все вероятности P{ξ=k} от k=1 до бесконечности.
Давайте разобьем сумму на две части:
Σ Ck(k+1) = Σ [Ck*k + Ck] (1)
Сначала рассмотрим первую часть суммы Ck*k:
Σ Ck*k = C*1*1 + C*2*2 + C*3*3 + C*4*4 + ...
Мы видим, что каждый элемент в этой сумме имеет квадратное кара. Давайте представим эту сумму как сумму квадратов первых нескольких чисел:
Это ряд известен как ряд квадратов натуральных чисел. Его сумма равна (n*(n+1)*(2n+1))/6, где n - количество членов. В нашем случае, у нас бесконечное количество членов, поэтому эта сумма будет бесконечность.
Но нам нужна сумма только от k=1 до бесконечности, поэтому мы можем рассмотреть эту сумму как предел бесконечной суммы:
Σ Ck*k = lim(n→∞) (n*(n+1)*(2n+1))/6 (2)
Теперь рассмотрим вторую часть суммы Ck:
Σ Ck = C*1 + C*2 + C*3 + C*4 + ...
Здесь у нас просто получается бесконечная сумма, где каждый элемент одинаковый - C. То есть, эта сумма равна бесконечности:
Теперь вспомним, что сумма всех P{ξ=k} должна быть равна 1. Поэтому, мы можем записать:
1 = lim(n→∞) (n*(n+1)*(2n+1))/6 + ∞
Чтобы уравнение было выполнено, второе слагаемое должно быть равно 0:
0 = ∞
Это невозможно, так как бесконечность не может быть 0.
Поэтому, мы пришли к выводу, что данное распределение случайной величины не может быть нормированным, то есть не может быть вероятностным распределением.
В данном случае, нам дано, что вероятность P{ξ=k} равна Ck(k+1). Значит, нам нужно найти сумму всех P{ξ=k} и приравнять ее к 1:
1 = Σ P{ξ=k} = Σ Ck(k+1)
Здесь символ Σ означает сумму, а k принимает все возможные значения. Мы должны просуммировать все вероятности P{ξ=k} от k=1 до бесконечности.
Давайте разобьем сумму на две части:
Σ Ck(k+1) = Σ [Ck*k + Ck] (1)
Сначала рассмотрим первую часть суммы Ck*k:
Σ Ck*k = C*1*1 + C*2*2 + C*3*3 + C*4*4 + ...
Мы видим, что каждый элемент в этой сумме имеет квадратное кара. Давайте представим эту сумму как сумму квадратов первых нескольких чисел:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... = 1 + 4 + 9 + 16 + ...
Это ряд известен как ряд квадратов натуральных чисел. Его сумма равна (n*(n+1)*(2n+1))/6, где n - количество членов. В нашем случае, у нас бесконечное количество членов, поэтому эта сумма будет бесконечность.
Но нам нужна сумма только от k=1 до бесконечности, поэтому мы можем рассмотреть эту сумму как предел бесконечной суммы:
Σ Ck*k = lim(n→∞) (n*(n+1)*(2n+1))/6 (2)
Теперь рассмотрим вторую часть суммы Ck:
Σ Ck = C*1 + C*2 + C*3 + C*4 + ...
Здесь у нас просто получается бесконечная сумма, где каждый элемент одинаковый - C. То есть, эта сумма равна бесконечности:
Σ Ck = ∞
Возвращаясь к формуле (1), мы получаем:
Σ Ck(k+1) = Σ Ck*k + Σ Ck
= lim(n→∞) (n*(n+1)*(2n+1))/6 + ∞
Теперь вспомним, что сумма всех P{ξ=k} должна быть равна 1. Поэтому, мы можем записать:
1 = lim(n→∞) (n*(n+1)*(2n+1))/6 + ∞
Чтобы уравнение было выполнено, второе слагаемое должно быть равно 0:
0 = ∞
Это невозможно, так как бесконечность не может быть 0.
Поэтому, мы пришли к выводу, что данное распределение случайной величины не может быть нормированным, то есть не может быть вероятностным распределением.
Таким образом, постоянной С не существует.