В арифметической прогрессии четвёртый член последовательности в 4 раза больше , чем восьмой Первый член больше шестого на 15 Найти сумму 30 первых членов последовательности
Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться с основами арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член последовательности получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии.
В данной задаче нам известна следующая информация:
1) Четвёртый член последовательности в 4 раза больше, чем восьмой.
Пусть четвёртый член будет обозначаться как a4, а восьмой член - a8.
Тогда a4 = 4 * a8.
2) Первый член больше шестого на 15.
Пусть первый член обозначается как a1, а шестой член - a6.
Тогда a1 = a6 + 15.
Теперь мы можем приступить к решению задачи.
Шаг 1: Найдём значение разности прогрессии.
Для этого выразим a8 через a1, используя известное нам равенство a1 = a6 + 15.
Так как в арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением разности к предыдущему, то a8 = a1 + (8-1) * d, где d - разность прогрессии.
Подставляя выражение для a1 в это равенство, получим a8 = (a6 + 15) + 7 * d.
Шаг 2: Найдём значение a4 через a8, используя известное равенство a4 = 4 * a8.
Подставляя выражение для a8 в данное равенство, получим a4 = 4 * ((a6 + 15) + 7 * d).
Шаг 3: Найдём значение разности d, используя равенство a4 = 4 * a8.
Подставляя значение a4 из предыдущего шага и a8 из первого шага, получим:
4 * ((a6 + 15) + 7 * d) = 4 * a8, что можно упростить до (a6 + 15) + 7 * d = a8.
Шаг 4: Найдём значение a1 через a6, используя известное равенство a1 = a6 + 15.
Подставляем в это равенство значение a6, равное (a6 + 15) - 15.
Получаем a1 = a6 + 15 - 15 = a6.
Шаг 5: Найдём значение суммы первых 30 членов последовательности.
Для этого воспользуемся формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Sn = (n/2) * (a1 + an), где Sn - сумма первых n членов прогрессии, n - количество членов, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.
Подставим необходимые значения в формулу и вычислим:
S30 = (30/2) * (a1 + a30).
Но нам также неизвестны значения a1 и a30. Используя выражения для a1 и a30 через a6 и разность прогрессии d, полученные на предыдущих шагах, мы можем представить a1 и a30 через a6 и d:
a1 = a6
a30 = a1 + (30-1) * d = a6 + 29 * d.
Теперь подставим значения в формулу для Sn и вычислим сумму первых 30 членов последовательности:
S30 = (30/2) * (a1 + a30) = 15 * (a1 + a6 + 29 * d).
Таким образом, чтобы найти сумму 30 первых членов последовательности, необходимо умножить полусумму a1 и a30 на число членов (30/2) и прибавить результат к числу 15, умноженному на разность прогрессии и числу 29.
Для решения данной задачи, нам необходимо разобраться с основами арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член последовательности получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии.
В данной задаче нам известна следующая информация:
1) Четвёртый член последовательности в 4 раза больше, чем восьмой.
Пусть четвёртый член будет обозначаться как a4, а восьмой член - a8.
Тогда a4 = 4 * a8.
2) Первый член больше шестого на 15.
Пусть первый член обозначается как a1, а шестой член - a6.
Тогда a1 = a6 + 15.
Теперь мы можем приступить к решению задачи.
Шаг 1: Найдём значение разности прогрессии.
Для этого выразим a8 через a1, используя известное нам равенство a1 = a6 + 15.
Так как в арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением разности к предыдущему, то a8 = a1 + (8-1) * d, где d - разность прогрессии.
Подставляя выражение для a1 в это равенство, получим a8 = (a6 + 15) + 7 * d.
Шаг 2: Найдём значение a4 через a8, используя известное равенство a4 = 4 * a8.
Подставляя выражение для a8 в данное равенство, получим a4 = 4 * ((a6 + 15) + 7 * d).
Шаг 3: Найдём значение разности d, используя равенство a4 = 4 * a8.
Подставляя значение a4 из предыдущего шага и a8 из первого шага, получим:
4 * ((a6 + 15) + 7 * d) = 4 * a8, что можно упростить до (a6 + 15) + 7 * d = a8.
Шаг 4: Найдём значение a1 через a6, используя известное равенство a1 = a6 + 15.
Подставляем в это равенство значение a6, равное (a6 + 15) - 15.
Получаем a1 = a6 + 15 - 15 = a6.
Шаг 5: Найдём значение суммы первых 30 членов последовательности.
Для этого воспользуемся формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Sn = (n/2) * (a1 + an), где Sn - сумма первых n членов прогрессии, n - количество членов, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.
Подставим необходимые значения в формулу и вычислим:
S30 = (30/2) * (a1 + a30).
Но нам также неизвестны значения a1 и a30. Используя выражения для a1 и a30 через a6 и разность прогрессии d, полученные на предыдущих шагах, мы можем представить a1 и a30 через a6 и d:
a1 = a6
a30 = a1 + (30-1) * d = a6 + 29 * d.
Теперь подставим значения в формулу для Sn и вычислим сумму первых 30 членов последовательности:
S30 = (30/2) * (a1 + a30) = 15 * (a1 + a6 + 29 * d).
Таким образом, чтобы найти сумму 30 первых членов последовательности, необходимо умножить полусумму a1 и a30 на число членов (30/2) и прибавить результат к числу 15, умноженному на разность прогрессии и числу 29.