Question

Найти наибольший член последовательности: an=(n^2-14)/2^n

Answer 1

По определению последовательность монотонно возрастает, если
$a_n \leq a_{n+1}$
и монотонно убывает, если
 $a_n \geq a_{n+1}$

Рассмотрим

$a_{n+1}-a_n \geq a_n= \frac{(n+1)^2-14}{2^{n+1}}- \frac{n^2-14}{2^n}}= \\ \\ =\frac{n^2+2n+1-14-2n^2+28}{2^{n+1}}=\frac{2n-n^2+15}{2^{n+1}}$

$\frac{2n-n^2+15}{2^{n+1}} \geq 0 \\ \\ \frac{n^2-2n-15}{2^{n+1}} \leq 0$
при
-3≤ n≤5
Значит при n ≤5 функция возрастает, а при n >5 ( можно записать n≥6) убывает.
a₅=(25-14)/32=11/32
a₆=(36-14)/64=22/64=11/32
a₅=a₆
а₇=(49-14)/128=35/128 < 11/32=44/128

О т в е т. а₅=а₆=11/32.