Question

Сделайте с решением, все проверю, если правильно. Отмечу как лучший

Answer 1

4.

$5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \: \: \: | - 4\pi \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

угол принадлежит 3 четверти, синус и косинус отрицательные.

Воспользуемся формулой:

$1 + {ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{ { \sin}^{2} \alpha } \\ \sin( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {ctg}^{2} \alpha } } \\ \sin( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{16}{9} } } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5} \\ \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5}$

5.

Чтобы выяснить, существуют ли такие значения угла, нужно подставить их в основное тригонометрическое тождество.

${ \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \\ {( \frac{3}{8} )}^{2} + {( \frac{5}{8} )}^{2} = \frac{9 + 25}{64} = \frac{34}{64}$

это не равно 1 => не существует

6.

$\cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ tg \alpha = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \times \frac{3}{1} = 2 \sqrt{2}$

это не равно данному в условии тангенсу => не существует.

$\cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } = \\ = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{2}{16} } } = \frac{4}{ \sqrt{18} } = \frac{4}{3 \sqrt{2} } \\ \\ { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{16}{9 \times 2} = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1$

=> существует

Answer 2

4.

\begin{gathered}5\pi < \alpha < \frac{11\pi}{2} \: \: \: | - 4\pi \\ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \end{gathered}

5π<α<

2

11π

∣−4π

π<α<

2

3π

угол принадлежит 3 четверти, синус и косинус отрицательные.

Воспользуемся формулой:

\begin{gathered}1 + {ctg}^{2} \alpha = \frac{1}{ { \sin}^{2} \alpha } \\ \sin( \alpha ) = + - \sqrt{ \frac{1}{1 + {ctg}^{2} \alpha } } \\ \sin( \alpha ) = - \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{16}{9} } } = - \sqrt{ \frac{9}{25} } = - \frac{3}{5} \\ \\ \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha } \\ \cos( \alpha ) = - \sqrt{1 - \frac{9}{25} } = - \sqrt{ \frac{16}{25} } = - \frac{4}{5} \end{gathered}

1+ctg

2

α=

sin

2

α

1

sin(α)=+−

1+ctg

2

α

1

sin(α)=−

1+

9

16

1

=−

25

9

=−

5

3

cos(α)=

1−sin

2

α

cos(α)=−

1−

25

9

=−

25

16

=−

5

4

5.

Чтобы выяснить, существуют ли такие значения угла, нужно подставить их в основное тригонометрическое тождество.

\begin{gathered} { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \\ {( \frac{3}{8} )}^{2} + {( \frac{5}{8} )}^{2} = \frac{9 + 25}{64} = \frac{34}{64} \end{gathered}

sin

2

α+cos

2

α=1

(

8

3

)

2

+(

8

5

)

2

=

64

9+25

=

64

34

это не равно 1 => не существует

6.

\begin{gathered} \cos( \alpha ) = \sqrt{1 - \frac{1}{9} } = \sqrt{ \frac{8}{9} } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \\ tg \alpha = \frac{ \sin( \alpha ) }{ \cos( \alpha ) } = \frac{2 \sqrt{2} }{3} \times \frac{3}{1} = 2 \sqrt{2} \end{gathered}

cos(α)=

1−

9

1

=

9

8

=

3

2

2

tgα=

cos(α)

sin(α)

=

3

2

2

×

1

3

=2

2

это не равно данному в условии тангенсу => не существует.

\begin{gathered} \cos( \alpha ) = \sqrt{ \frac{1}{1 + {tg}^{2} \alpha } } = \\ = \sqrt{ \frac{1}{1 + \frac{2}{16} } } = \frac{4}{ \sqrt{18} } = \frac{4}{3 \sqrt{2} } \\ \\ { \sin}^{2} \alpha + { \cos }^{2} \alpha = 1 \\ \frac{1}{9} + \frac{16}{9 \times 2} = \frac{2 + 16}{18} = \frac{18}{18} = 1\end{gathered}

cos(α)=

1+tg

2

α

1

=

=

1+

16

2

1

=

18

4

=

3

2

4

sin

2

α+cos

2

α=1

9

1

+

9×2

16

=

18

2+16

=

18

18

=1

=> существует