Question

I. 1. Плотник Ёся делает стол в форме равностороннего треугольника площади S. Сын плотника, в свободное от путешествий с друзьями время, отмечает точки, которые делят каждую сторону треугольника на две равные части, и отрезает у треугольника три угла по прямым, соединяющим отмеченные точки. Далее к получившейся фигуре он применяет ту же операцию. Найдите площадь фигуры после n-го разреза. 2. Пусть теперь Ёся делает фигуру в форме квадрата площадиS, а его сын продолжает свои шалости (отпиливает уголки по отмеченным точкам). Какая теперь площадь получится после n-ого разреза.
3. Решите предыдущий пункт в случае, когда исходный стол — правильный M-угольник площадиS.
II. Пусть теперь сын Ёси на каждом шаге отмечает на сторонах точки, делящие стороны на 3 равные части и отрезает уголки, стороны которых равны 1/3 стороны (см. рисунок).
Решите пункты I.1–I.3 в этом случае.

III. Пусть теперь сын Ёси отмечает точки, делящие стороны на 3 равные части и не отпиливает уголки, а выпиливает из стола фигуры, равные этим уголкам и опирающиеся на отмеченные точки (см. рисунок про квадрат). Если стол в какой-то момент распадётся на части (см. рисунок про треугольники), то сын Ёси продолжит выпиливать уголки из каждой части.

1. Какова площадь получающегося стола после n-й операции, если исходный стол имел форму правильного треугольника площади S?
2. А если исходный стол имеет форму квадрата площади S?
3. Попробуйте решить эту же задачу для правильногоM-угольника площади S.
IV. Пусть теперь стол имеет форму прямоугольника a´b, где ab=S. Попробуйте решить пункты I–III в этом случае. А если стол имеет форму прямоугольного треугольника с катетами x и y?
V. Попробуйте повторить исследования пунктов I–IV в случае, когда сын Ёси делит стороны получаемых фигур на k равных частей. Интересны будут даже рассуждения, проведённые для конкретныхk¹ 2, 3.
VI. Предложите и исследуйте свои обобщения для данной задачи. Например, обобщите данную задачу для объёмов деревянных фигур, у которых сын Ёси так же отпиливает или вырезает углы.