Question

Решите уравнение (x^2+1)/x+x/(x^2+1)=-2.5 !

Answer 1

$\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=-2,5\\\frac{(x^{2}+1)^{2}+x^{2}}{x\cdot(x^{2}+1)}=-2,5\\x^{4}+2x^{2}+1+x^{2}=-2,5(x^{3}+x)\\x^{4}+2,5x^{3}+3x^{2}+2,5x+1=0\\$

Методом подбора видим, что х = -1 является корнем, т.к.  1 - 2,5 +3 - 2,5 +1 =0; Тогда поделив многочлен $x^{4}+2,5x^{3}+3x^{2}+2,5x+1$ на двучлен х+1, получим многочлен   $x^{3}+1,5x^{2}+1,5x+1$. Замечаем, что и этот многочлен делится на двучлен х+1, т.к. -1 +1,5 - 1,5 +1 = 0; Тогда поделив многочлен $x^{3}+1,5x^{2}+1,5x+1$ на двучлен х+1, получим многочлен   $x^{2}+0,5x+1$. Выделим полный квадрат из последнего трехчлена:$x^{2}+0,5x+1=x^{2}+2\cdot(\frac{1}{4})x+\frac{1}{16}+\frac{15}{16}=(x+\frac{1}{4})^{2}+\frac{15}{16}0$, поэтому других корней нет.

ответ: х = -1 (двойной корень)