Question

Обчислити площу фігури обмежену лініями y=x в квадрате+2 y=4-x в квадрате

Answer 1

$\\x^2+2=4-x^2\\ 2x^2=2\\ x^2=1\\ x=-1 \vee x=1\\\\ \int \limits_{-1}^14-x^2-(x^2+2)\, dx=\\ \int \limits_{-1}^1-2x^2+2\, dx=\\ -2\int \limits_{-1}^1x^2-1\, dx=\\ -2\Big[\frac{x^3}{3}-x\Big]_{-1}^1=\\ -2(\frac{1^3}{3}-1-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))=\\ -2(\frac{1}{3}-1-(-\frac{1}{3}+1))=\\ -2\cdot(\frac{2}{3}-2)=\\ -\frac{4}{3}+4=\\ -\frac{4}{3}+\frac{12}{3}=\\ \frac{8}{3}$

Answer 2

Построим графики функций y(1) = x^2 + 2 и y(2) = 4 - x^2

Получились параболы, которые пересекаются в точках -1 и 1 по иксу. Значит будем искать площадь фигуры на промежутке [-1;1] - пределы интегрирования

В данном случае будем y(2) - y(1)

S = $\int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx = \int\limits^1_{-1} {((4 - x^2) - (x^2 + 2))} \, dx = \int\limits^1_{-1} {(2 - 2x^2 )} \, dx = F(b) - F(a) = (2 * 1 - \frac{2 * 1^3}{3}) - (2 * (-1) - (-\frac{2 * 1^3}{3})) = 2 - \frac{2}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 4 - 1\frac{1}{3} = 2\frac{2}{3}$ ед^2