Question

с математикой , нужно найти дифференциал уравнения

Answer 1

а

$(2 + {x}^{2} )dy + x \sqrt{4 + {y}^{2} } dx = 0 \\ (2 + {x}^{2} ) dy = - x \sqrt{4 + {y}^{2} } dx \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{4 + {y}^{2} } } = - \int\limits \frac{xdx}{2 + {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{dy}{ \sqrt{ {y}^{2} + {2}^{2} } } = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{2xdx}{2 + {x}^{2} } \\ ln(y + \sqrt{ {y}^{2} + 4} ) = - \frac{1}{2} \int\limits \frac{d(2 + {x}^{2}) }{2 + {x}^{2} } \\ ln(y + \sqrt{4 + {y}^{2} } ) = - \frac{1} {2 } ln(2 + {x}^{2} ) + ln(C) \\ ln(y + \sqrt{ {y}^{2} + 4 } ) = ln( \frac{C}{ \sqrt{2 + {x}^{2} } } ) \\ y + \sqrt{4 + {y}^{2} } = \frac{C}{ \sqrt{2 + {x}^{2} } }$

общее решение

б

${e}^{x} (y + y') = 1 \\ y' + y = \frac{1}{ {e}^{x} } \\ y' + y = {e}^{ - x} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + uv = {e}^{ - x} \\ u'v + u(v' + v) = {e}^{ - x} \\ \\ 1)v' + v = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \: dx \\ ln(v) = - x \\ v = {e}^{ - x} \\ \\ 2)u'v = {e}^{ - x} \\ \frac{du}{dx} e {}^{ - x} = e {}^{ - x} \\ \int\limits \: du = \int\limits \: dx \\ u = x + C\\ \\ y = uv = {e}^{ - x} (x + C) \\ y = {e}^{ - x} x + Ce {}^{ - x}$

общее решение

в

$y''+ 2y' - 15y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 2 k - 15) = 0 \\ D= 4 + 60 = 64 \\ k_1 = \frac{ - 2 + 8}{2} = 3 \\ k_2 = - 5 \\ y = C_1e {}^{3x} + C_2e {}^{ - 5x}$

общее решение