Question

Найдите наибольшее значение функции 9^х \ 4^х - 6^х + 9^х и точку х, при которой это значение достигается. (п.с. степень представлена х-ом, привыкла решать через производную, а тут как-то по-другому, можно сделать замены 3^x и 2^x, но что это может

Answer 1

$y(x)=\frac{9^x}{4^x-6^x+9^x}=\frac{1}{(\frac{4}{9})^x-(\frac{2}{3})^x+1}=\frac{1}{((\frac{2}{3})^x)^2-(\frac{2}{3})^x+1}$

рассмотрим функцию $f(t)=t^2-t+1$, по свойствам ее минимальное значение достигается в вершине параболы (минимальное так как коэффициент при t равен a=1>0)

т.е. при $t=-\frac{-1}{2}=0.5$

далее рассмотрим функцию $g(k)=(\frac{2}{3})^k$ -функция убывающая, поэтому чем меньше ее значение тем меньше ее значение

далее рассмотрим функцию $h(z)=\frac{1}{z}, z0$ - функция убывающая, чем меньше значение z тем большее значение h(z)

видим $h(x)=h(g(f(x)))$ учитывая непрерывность, и все ограничения, видим, что наибольшее значение данной функции достигается при 

$(\frac{2}{3})^x=\frac{1}{2}; x=log_{\frac{2}{3}} \frac{1}{2}=log_{1.5} 2=\frac{1}{log_2 1.5}=\frac{1}{log_2 \frac{3}{2}}=\frac{1}{log_2 3-log_2 2}=\frac{1}{log_2 3-1}$

а наибольшее значение учитывая что для него выполняется соотношение $(\frac{2}{3})^x=\frac{1}{2}=0.5$

будет $y_{max}=\frac{1}{0.5^2-0.5+1}=\frac{1}{0.75}=\frac{4}{3}$