Question

S- вершина конуса, o середина основания, радиус основания конуса равен 9 so - 12 найдите расстояние от точки o до плоскости проходящей через вершину конуса и хорду основания равную 10

Answer 1

Чертеж к задаче во вложении. 

Хорда в основании конуса - отрезок АВ=10.

Плоскость, проходящая через вершину конуса и хорду АВ, это ∆ASB.

Расстояние от О до этого ∆ - это отрезок ОМ. Его и надо найти.

1) ∆АОВ-равнобедренный (ОА=ОВ=9). ОН- мединана, бссектриса, высота ∆АОВ.

АН=ВН=5.

2) По теореме Пифагора в ∆ВОН 

$OH=\sqrt{OB^2-HB^2}=\sqrt{9^2-5^2}=2\sqrt{14}$

3) По теореме о трех перпендикулярах прямая АВ, проведенная на плоскости через основание Н наклонной SH, перпендикулярна ее проекции ОН, значит АВ перпендикулярна наклонной SH. Тогда в силу того что Н - середина АВ имеем, что SH - и медиана и высота ∆ASB. Т.е. этот треугольник равнобедренный и у него SA=SB.

4) По теореме Пифагора в ∆SОН 

$SH=\sqrt{OS^2+HO^2}=\sqrt{144+56}=10\sqrt{2}$

5) Рассмотрим прямоугольный ∆SOH. Пусть НМ = х, тогда SM = 10√2 - х 

По теореме Пифагора в ∆МОН 

$OM^2=OH^2-HM^2=56-x^2$

По теореме Пифагора в ∆МОS 

$OM^2=OS^2-SM^2=144-(10\sqrt2-x)^2$

Получаем уравнение:

$56-x^2=144-(10\sqrt2-x)^2 \\\ 56-x^2=144-200+20x\sqrt2-x^2 \\\ 20x\sqrt2=112 \\\ x=\frac{112}{20\sqrt2}=\frac{28}{5\sqrt2}=\frac{14\sqrt2}{5} \\\ OM^2=56-x^2=56-(\frac{14\sqrt2}{5})^2=56-\frac{392}{25}=\frac{1008}{25} \\\ OM=\sqrt{\frac{1008}{25}}=\frac{\sqrt{1008}}{5}=\frac{12\sqrt{7}}{5}$

ответ: $\frac{12\sqrt{7}}{5}$