На перекрёстке стоит автоматический светофор, 1.6 минуты горит зелёный свет, 0.2 минуты - жёлтый, 0.3 минуты - красный и т.д.. Машина подъезжает к перекрёстку в случайный момент, не связанный с работой светофора. а) Найти вероятность того, что она проедет перекрёсток, не останавливаясь;
б) Найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания в очереди у перекрёстка.
а) Чтобы найти вероятность того, что машина проедет перекресток, не останавливаясь, нам нужно определить, в какие моменты светофор будет гореть зеленым либо желтым цветом.
Мы знаем, что светофор горит зеленым 1.6 минуты, желтым - 0.2 минуты и красным - 0.3 минуты. Время работы светофора можно представить в виде последовательности зеленых, желтых и красных интервалов.
Сумма длительностей всех интервалов равна 2.1 минуты, так как 1.6 + 0.2 + 0.3 = 2.1.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда машина подъезжает к перекрестку. Машина может подъехать в любой момент времени, независимо от работы светофора. Из-за этого мы можем предположить, что время, когда машина подъезжает к перекрестку, равномерно распределено на 2.1 минуты.
Тогда вероятность того, что машина проедет перекресток, не останавливаясь, равна длине зеленого интервала, деленной на сумму длительностей всех интервалов.
В нашем случае, вероятность равна 1.6 / 2.1 = 0.7619, или округленно 0.76 (или 76%).
б) Чтобы найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания в очереди у перекрестка, нам нужно рассмотреть все возможные случаи.
Если машина подъехала в момент, когда светофор горит зеленым, она сразу проедет перекресток, и время ожидания в очереди будет равно 0.
Если машина подъехала в момент, когда светофор горит желтым, она также проедет перекресток без остановки. В этом случае время ожидания также будет равно 0.
Если машина подъехала в момент, когда светофор горит красным, она должна будет остановиться. Время ожидания для этой ситуации является случайной величиной и будет зависеть от того, сколько времени осталось до смены сигнала на зеленый.
Например, если машина подъехала сразу после начала красного интервала, время ожидания будет равно длительности красного интервала (в нашем случае - 0.3 минуты).
Если машина подъехала в середине красного интервала, время ожидания будет равно оставшемуся времени красного интервала.
Таким образом, мы можем установить, что время ожидания машины в очереди на перекрестке будет иметь следующие числовые характеристики:
- Математическое ожидание (среднее значение) времени ожидания будет равно средней длительности красного интервала, так как вероятностно ожидается, что машина будет подъезжать в разные моменты времени.
- Дисперсия (мера разброса) времени ожидания будет зависеть от длительности красного интервала и от того, насколько время прибытия машин несвязано со светофором. Если машины приезжают с равномерным законом распределения, дисперсия будет достаточно большой.
Таким образом, мы рассмотрели вероятность проезда машины через перекресток без остановки и числовые характеристики времени ожидания в очереди у перекрестка. Если у вас есть еще вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, задайте их.