Пошаговое объяснение:
Решение. Введем событие: X = (Среди выбранных хотя бы одно изделие первого сорта). Рассмотрим противоположное ему событие: X =(Среди выбранных нет изделий первого сорта).
Используем классическое определение вероятности:
m
P
n = , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.
3 25
25! 23 24 25
2300
3!22! 1 2 3
n C
⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅
- число выбрать любые 3 изделия из 25.
3 10
10! 8 9 10
120
3!7! 1 2 3
m C
⋅ ⋅ = = = = ⋅ ⋅
- число различных выбрать 3 изделия второго сорта
(из 10). Искомая вероятность равна ( ) ( ) 120 109 1 1 1 0,948. 2300 115 m P X P X n = − = − = − = ≈
ответ: 0,948.
Задача 2. На отрезке [ ] 0;2 наудачу выбраны два числа x и y . Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенству 2 4 4 x y x ≤ ≤ .
Решение. Используем геометрическое определение вероятности. Сделаем схематический чертеж. Берем числа , x y из квадрата [ ] [ ] 0;2 0;2 × .
Рассмотрим условие 2 4 4 x y x ≤ ≤ Строим линии:
1)
2
2 4 , . 4 x y x y ≤ ≤
область выше параболы
2
4 x y = .
2)
4 4 , . y x y x ≤ ≤
область ниже прямой y x = .
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Таким образом, вероятность p равна отношению площади закрашенной фигуры (в которой выполняются условия 1 и 2) к площади всей фигуры (квадрата):
.
.
фиг
квад
S
p
S =
Площадь квадрата . 2 2 4 квадS = ⋅ = . Площадь закрашенной области 22 2 2 3 2 3 . 0 0 1 1 1 1 4 2 2 . 4 2 12 2 12 3ô èã x S x dx x x = − = − = − = ∫
Тогда вероятность .
.
4/3 1
0,333
4 3
ô èã
êâàä
S
p
S = = = = .
ответ: 0,333.
Задача 3. Дана схема включения элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени Т равна 0,5. Вычислить вероятность отказа всей цепи.
Контрольная работа выполнена на сайте www.MatBuro.ru ©МатБюро. Решение задач по математике, статистике, теории вероятностей
Решение. Рассмотрим события:
i A = (Элемент с номером i откажет), 1,...,6 i = , ( ) 0,5 i P A = , ( ) 0,5 i P A = .
Искомое событие B = (Цепь откажет), противоположное ему: B = (Цепь работает безотказно). Выразим событие B через i A . Учитываем, что последовательному соединению отвечает произведение событий, а параллельному – сумма событий. ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 B A A A A A A = ⋅ + ⋅ + + .
Выразим вероятность события B . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 0,5 1 0,5 1 0,5 0,672. P B P B P A A A A A A P A P A A P A A A P A P A P A P A P A P A = − = ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ + ⋅ + + = = − ⋅ − ⋅ − = = − ⋅ − ⋅ − ≈
Использовали формулу для независимых в совокупности событий 1,... n A A :
1 2 1 2 1 2 1 2 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ... ) 1 ( ) ( ) ... ( ) n n n n P A A A P A A A P A A A P A P A P A + + + = − + + + = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ .
ответ: 0,672.
Задача 4. Детали изготавливаются на двух станках. На первом станке – 40%, на втором – 60%. Среди деталей, изготовленных на первом станке, брак составляет 2%, на втором – 1,5%. Для контроля случайным образом взята 1 деталь. Найти вероятность событий: А) деталь бракованная, Б) деталь изготовлена на 1 станке, если при проверке она оказалась не бракованной.
Решение. Введем полную группу гипотез: 1H = (Деталь изготовлена первым станком), 2H = (Деталь изготовлена первым станком).
По условию: ( 1) 0,4 P H = , ( 2) 0,6 P H = .
Введем событие A = (Деталь оказалась бракованной). Условные вероятности даны в задаче: ( | 1) 0,02 P A H = , ( | 2) 0,015 P A H = .
1) Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности ( ) ( | 1) ( 1) ( | 2) ( 2) 0,4 0,02 0,6 0,015 0,017 1,7%. P A P A H P H P A H P H = + = ⋅ + ⋅ = =
2) Найдем вероятность ( ) 1| P H A того, что деталь изготовлена на первом станке, если она при проверке оказалась без брака.
Башкортостан- земля моя!
Люблю твои леса, поля.
Богат ты, милый, край родной.
Горжусь, как все, и я тобой.
Родина – это самое родное, что есть у человека, это то место, где человек родился и вырос. Я родился и вырос в Башкортостане. Это замечательное место, пропитанное свежим воздухом и теплыми лучами солнца. В этом крае я учился ходить, говорить, видеть все прекрасное.
Каждому человеку дорог свой родной край, каждому кажется свой край самым красивым уголком во всем мире. Мы любим его за то, что именно здесь мы родились, выросли, сделали свои первые шаги, первый раз сказали слово «мама», в первый раз пошли учиться в школу… Мы любим свой край, потому что здесь у нас все самое близкое, родное: мама, папа, родные, друзья, наша красивая и богатая природа, наша родная матушка-земля!.. Я горжусь своей родной землей, своим краем.
Башкортостан… Когда я слышу это слово, передо мной встают гордые, высокие горы, привольные без конца и без краю степи, стремительные горные реки, чистые, прозрачные озера, густые чащи лесов… Когда я слышу слово «Башкортостан», представляю Салавата Юлаева, которым гордится каждый житель Башкортостана. Когда я слышу слово «Башкортостан», я слышу пение курая, который рассказывает о красоте башкирской земли и никого не оставляет равнодушным.
Край наш необыкновенно привлекателен разнообразием природы. В Башкортостане очень много цветов, красивых деревьев, особенно мне нравится, как цветет красавица яблоня и липа. Может быть именно поэтому наш край славится пчеловодством. Башкирский мед очень полезен, он обладает целебными свойствами. Каких только видов меда нет в Башкортостане! Он славится на весь мир.
Наш Башкортостан не только красив, но и сказочно богат. Хлеб, скот, рыба, леса и поля – все в изобилии есть у нас. Богат и нефтью, целебными родниками, чистым воздухом, лошадьми, историей и талантами. Сотни людей с разных уголков мира приезжают в нашу республику, чтобы лечиться, наслаждаться свежим воздухом, чудной природой.
Но главное богатство нашего края, я думаю, - люди. Все они трудолюбивы и талантливы. Это их труд вложен в промышленность, сельское хозяйство, в обучение детей, лечение людей, науку, чистоту городов и сел. Гости нашей республики удивляются и чистоте, и порядку, и красоте, и новым технологиям нашего производства. Нам всем хочется, чтобы наш край – родной Башкортостан – был всегда развитым, преуспевающим, чтобы жители республики были уверены в завтрашнем дне.
Мне очень дорог мой родной край! Многие, я думаю, хотели бы увидеть наши края. А мне повезло: я живу здесь. И я нисколько не жалею, что родился в таком прекрасном крае. Я очень люблю нашу республику и горжусь ею, потому что она одна такая неповторимая, дивная, чудная, и желаю ей только процветания!
«Цвети, родной Башкортостан,
Среди лесов, среди полей.
И с каждым годом, милый край,
Ты будь прекрасней и сильней!»
Пусть С - начало координат
Ось X - CA
Ось Y - перпендикулярно X в сторону B
Ось Z - CC1
координаты точек
С(0;0;0)
A(1;0;0)
B1(1/2;√3/2;1)
C1(0;0;1)
Вектора
AC(-1;0;0)
B1C1(-1/2;-√3/2;0)
Косинус угла между AC и B1C1 равен
| AC * B1C1 | / | AC | / | B1C1 | = 1/2 / 1 / √ (1/4+3/4) = 1/2
Угол 60 градусов