Question

Определите при каких значениях параметра а уравнение |x+1|=a²+1 имеет два корня

Answer 1

Заметим, что в правой части уравнения $|x+1|=a^2+1$ стоит положительное число. Тогда, уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l} x+1=a^2+1\\ x+1=-(a^2+1) \end{array}$

Решая каждое уравнение, получим:

$\left[\begin{array}{l} x_1=a^2\\ x_2=-a^2-2 \end{array}$

Заметим, что эти корни не могут совпасть, так как в этом случае было бы верным равенство $a^2=-a^2-2$, но соответствующее уравнение $2a^2=-2$ не имеет корней.

Значит, уравнение при любых значениях параметра а имеет два корня.

ответ: $a\in \mathbb{R}$