Question

Найти частное решение диф.ур-ия и вычислить значение полученной функции у=фи(х) при х=х0 с точностью до 2-х знаков после запятой y"=1/sin^2(2*x),x0=5pi/4,y(pi/4)=pi/4,y'(pi/4)=1

Answer 1

Уравнение не содержит явно y, следовательно можно понизить порядок этого уравнения

y'=p(x), y''=p'(x)

Наше уравнение примет вид

$p' = \frac{1}{Sin^22x}$

$dp = \frac{dx}{Sin^22x}$

проинтегрируем обе части

$p = -\frac{1}{2}ctg2x + C_1$

$y' = -\frac{1}{2}ctg2x + C_1$

y'(π/4) = 1

откуда C₁ = 1

$dy = -\frac{1}{2}ctg2xdx + dx$

Снова проинтегрируем

$y = -\frac{1}{4}ln|Sin2x| + x + C_2$

y(π/4)=π/4

откуда C₂ = 0

частное решение

$y = -\frac{1}{4}ln|Sin2x| + x$

y(5π/4)= -¼ln(Sin(5π/2))+5π/4 = 3,93