Question

Вычислить площадь области, ограниченной линиями y=1-x^2 и y=x+1

Answer 1

Найдем абсциссы точек пересечения линий:
$1-x^2=x+1\\ x^2+x=0\\ x(x+1)=0\\ x_1=-1,\ x_2=0\\\\ S=\int\limits_{-1}^{0}(1-x^2-x-1)}dx=\int\limits_{-1}^{0}(-x^2-x)}dx=-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}|_{-1}^0=\\=0-(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}.$

Answer 2

Вычислить площадь области, ограниченной линиями y=1-x^2 и y=x+1
Уравнение функции y=1-x^2 является парабола с ветвями направленными вниз и вершиной в точке(0;1).
Уравнение y=x+1- уравнение прямой.
Необходимо вначале найти точки пересечения функций
х+1=1-x^2
x^2+x=0
x(x+1)=0
x1=0  x2=-1
Получили две точки пересечения графиков -1 и 0
Необходимо найти площадь фигуры сверху ограниченной параболой y=1-х^2, а снизу ограниченной прямой у=1+х на интервале от -1 до 0
Найдем эту площадь
S= интегр[от-1 до 0](1-x^2-1-x)dx =интегр[от -1 до 0](-x^2-x)dx =
-(1/3)x^3-(1/2)x^2 [ от-1 до 0] = -(1/3)*0-(1/2)*0 +(1/3)*(-1)^3+(1/2)*(-1)^2 =-1/3+1/2=
1/6
ответ:1/6