Question

Обчислити інтеграл застосовуючи потрібну заміну
До іть будь ласка
Дуже потрібно

Answer 1

$2x - 1 = t \\ x = \frac{1}{2} (t + 1) \\ 2dx = dt \\ dx = \frac{dt}{2} \\ \\ \int\limits \frac{ {( \frac{t + 1}{2} )}^{3} }{ \sqrt{t} } \times \frac{dt}{2} = \\ = \int\limits \frac{1}{2 \sqrt{t} } \times \frac{( {t}^{2} + 2t + 1)(t + 1)}{8} dt = \\ = \frac{1}{16} \int\limits \frac{ {t}^{3} + {t}^{2} + 2 {t}^{2} + 2t + t + 1}{ \sqrt{t} } dt = \\ = \frac{1}{16} \int\limits \frac{t {}^{3} + 3t {}^{2} + 3 t + 1}{ \sqrt{t} } dt = \\ = \frac{1}{16} \int\limits( {t}^{ \frac{5}{2} } + 3 {t}^{ \frac{3}{2} } + 3 {t}^{ \frac{1}{2} } + {t}^{ - \frac{1}{2} } )dt = \\ = \frac{1}{16} ( \frac{ {t}^{ \frac{7}{2} } }{ \frac{7}{2} } + 3 \times \frac{ {t}^{ \frac{5}{2} } }{ \frac{5}{2} } + 3 \times \frac{ {t}^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } + \frac{ {t}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } ) + C= \\ = \frac{1}{16} ( \frac{2}{7} {t}^{3} \sqrt{t} + 3 \times \frac{2}{5} {t}^{2} \sqrt{t} + 2 t\sqrt{t} + 2 \sqrt{t} ) + C= \\ = \frac{1}{56} \sqrt{ {(2x - 1)}^{7} } + \frac{3}{40} \sqrt{ {(2x - 1)}^{5} } + \frac{1}{8} \sqrt{ {(2x - 1)}^{3} } + \frac{ \sqrt{2x - 1} }{8} + C$