n⁵-n=n(n⁴-1)=n(n²+1)(n²-1)=n(n²+1)(n+1)(n-1)
(n-1), n, (n+1) – три последовательных числа, среди которых есть либо два чётных и одно нечётное, либо одно чётное и два нечётных, поэтому их произведение всегда является чётным.
Пусть n=5х, тогда (n-1)·n·(n+1) кратно 5;
если n=5х+1, то (n-1)=5х(n-1)·n·(n+1) кратно 5;
если n=5х+2, то (n²+1)=(5х+2)²+1=25х²+20х+4+1=25х²+20х+5=5(5х²+4х+1) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;
если n=5х+3, то (n²+1)=(5х+3)²+1=25х²+30х+9+1=25х²+30х+10=5(5х²+6х+2) кратно 5 и (n-1)·n·(n+1)(n²+1) кратно 5;
если n=5х+4, то n+1=5х+4+1=5х+5=5(х+1) кратно 5
(n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5.
Т.е, (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 5 при любом значении n.
Тогда если (n-1)n(n+1)(n²+1) кратно 2 и 5, то оно кратно 10.
8х2 - 30х + а3 = 0; D1 = 302 - 4 * 8 * a3 = 900 - 32a3; x1 = (30 + √D1) / 16; x2 = (30 - √D1) / 16. Очевидно, что x1 > x2, значит x1 = (x2)2. (30 + √D1) / 16 = ((30 - √D1) / 16)2; (30 + √D1) / 16 = (30 - √D1)2 / 162; 16 * (30 + √D1) = (30 - √D1)2; 480 + 16√D1 = 900 + D1 - 60√D1; Введем обозначение t = √D1, получим: t2 - 76t + 420 = 0; D2 = 762 - 4 * 420 = 5776 - 1680 = 4096 = 642; t1 = (76 - 64) / 2 = 12 / 2 = 6; t2 = (76 + 64) / 2 = 140 / 2 = 70. t1 = √D1; √(900 - 32a3) = 6; 900 - 32a3 = 36; 32a3 = 900 - 36 = 864; a3 = 864 / 32 = 27; a1 = 3; t2 = √D1; √(900 - 32a3) = 70; 900 - 32a3 = 4900; 32a3 = 900 - 4900 = - 4000; a3 = - 4000 / 32 = - 125; a2 = - 5. Получаем, что один корень данного квадратного уравнения равен квадрату другого при а = 3 и а = - 5. Условию о положительности удовлетворяет лишь одно из значений а, равное 3. ответ: а = 3.
2) 2 х 13 = 26(кг)
ответ: 26 кг сушёного шиповника получится из 91 кг.