Исследовать функцию f (x) = x³ - 2x² - 4x и построить её график.
1. Область определения функции - вся числовая ось.
2. Функция f (x) = x³ - 2x² - 4x непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.
3. Четность, нечетность, периодичность:
f(–x) = (–x)³–2(–x)²–4(–x) = –x³-2x²+4x ≠ f(x) и
f(–x) = (–x)³–2(–x)²–4(–x) = –(x³+2x²-4x) ≠ –f(x)
Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
Ox: y=0, x³ - 2x² - 4x = x(x² - 2x - 4) = 0.
Один корень х₁ = 0.
Приравниваем нулю второй множитель: x² - 2x - 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-2)^2-4*1*(-4)=4-4*(-4)=4-(-4*4)=4-(-16)=4+16=20;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₂=(√20-(-2))/(2*1)=(√20+2)/2=√20/2+2/2= 1 +√5 ≈ 3.236068;
x₃=(-√20-(-2))/(2*1)=(-√20+2)/2=-√20/2+2/2= 1 - √5 ≈ -1.236068.
Значит (0; 0), ((1 +√5); 0) и ((1 -√5); 0)- точки пересечения с осью Ox.
Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.
5. Промежутки монотонности и точки экстремума:
y'=0 ⇒ 3x² – 4x – 4 =0 .
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:
D=(-4)^2-4*3*(-4)=16-4*3*(-4)=16-12*(-4)=16-(-12*4)=16-(-48)=16+48=64;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√64-(-4))/(2*3)=(8-(-4))/(2*3)=(8+4)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;
x₂=(-√64-(-4))/(2*3)=(-8-(-4))/(2*3)=(-8+4)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2/3) ≈ -0,666667.
x = -(2/3), x = 2 - критические точки.
Промежутки монотонности: где производная положительна, там функция возрастает (-∞; (-2/3) ∪ (2; +∞), где производная отрицательна - там функция убывает ((-2/3); 2).
х = -1 -0,66667 0 1 2 36. Вычисление второй производной: y''=0, 6x–4 = 0, x = 4/6 = 2/3.
7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:
. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.
8. Искомый график функции дан в приложении.
следовательно, х (1008) + 13 = 1021