Question

Найти периметр ромба с наибольшей площадью.если сумма длин его диагоналей равна 16

Answer 1

Пусть его диагональ равны 
$d_{1} \ i \ d_{2}\\$
по условию $d_{1}+d_{2}=16\\$
по формуле площадь ромба равна полу произведению  его диагоналей , то есть 
$S_{max}=\frac{d_{1}*d_{2}}{2}\\$
выразим с первого уравнения 
$d_{1}=16-d_{2}$
$S_{max}=\frac{d_{2}(16-d_{2})}{2}$
Можно рассмотреть как функцию, то есть найдем производную , затем экстремумы 
$S'_{max}=\frac{d_{2}(16-d_{2})}{2}' =\frac{16-d_{2}}{2}-\frac{d_{2}}{2}\\ S'_{max}=0\\ \frac{16-d_{2}}{2}-\frac{d_{2}}{2}=0\\ 16-2d_{2}=0\\ d_{2}=8\\ Stavim \\ S(8)=\frac{8(16-8)}{2}=32\\$ (я сразу написал что это наибольшее значение, по правилам я проверил сразу)
То есть наибольшая площадь равна 32;
$S=32\\ \left \{ {{d_{1}d_{2}=64} \atop {d_{1}+d_{2}=16}} \right.\\ \\ d_{1}=d_{2}=8\\$
Найдем сторону ромба , по теореме Пифагора ,  учтем что диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам!
$a=\sqrt{(\frac{8}{2})^2+(\frac{8}{2})^2} = 4\sqrt{2}\\ P=4*4\sqrt{2}=16\sqrt{2}$