Question

Решить дифференциальное уравнение
xy'-y=-lnx

Answer 1

$xy' - y = - ln(x) \: \: \: | \div x \\ y' - \frac{y}{x} = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \\ y = uv \\ y' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - \frac{ ln(x) }{x} \\ u'v + u(v' - \frac{v}{x} ) = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) \times ln(x) \\ v = x \\ \\ 2) u'v = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \frac{du}{dx} \times x = - \frac{ ln(x) }{x} \\ \int\limits \: du = - \int\limits\frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ \int\limits \frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ \\ U = ln(x) \: \: \: dU = \frac{dx}{x} \\ dV = \frac{dx}{ {x}^{2} } \: \: \: V = - \frac{1}{x} \\ \\ UV - \int\limits \: VdU = \\ = - \frac{ ln(x) }{x} + \int\limits \frac{dx}{ {x}^{2} } = \\ = - \frac{ ln(x) }{x} - \frac{1}{x} +C = \\ = - \frac{1}{x} (ln(x) + 1) + C \\ - - - - - - - - - - - - - - \\ \\ \int\limits \: du = - \int\limits \frac{ ln(x) }{ {x}^{2} } dx \\ u = \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C \\ \\ y = uv = x \times ( \frac{1}{x} ( ln(x) + 1) + C\\ y = ln(x) + 1 + \frac{ C }{x}$

общее решение