Question

Очень В классе 30 человек, каждый из которых изучает иностранный
язык. 20 человек изучает английский, 15 – французский и 10 – немецкий.При этом в группах изучающих по два языка насчитывается по 8 человек.
Сколько человек изучает все три языка?

Answer 1

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать теорию множеств и применить формулу включения и исключения.

Пусть A, B и C - множества учеников, изучающих английский, французский и немецкий соответственно.

Из условия задачи мы знаем, что |A| = 20, |B| = 15, |C| = 10, где символ "|" обозначает кардинальность множества.

Мы также знаем, что в группах изучающих по два языка насчитывается по 8 человек, что означает, что к каждой паре языков принадлежат по 8 учеников. Пусть D, E и F - множества учеников, изучающих английский и французский, английский и немецкий, французский и немецкий соответственно.

Из условия задачи мы можем записать следующие уравнения:

|D ∩ E| = 8
|D ∩ F| = 8
|E ∩ F| = 8

Также известно, что общее количество учеников равно 30:

|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |D ∩ E| - |D ∩ F| - |E ∩ F| + |D ∩ E ∩ F| = 30

Подставим известные значения и решим уравнение:

20 + 15 + 10 - 8 - 8 - 8 + |D ∩ E ∩ F| = 30

Мы хотим найти |D ∩ E ∩ F|, поэтому перенесем все известные значения на одну сторону:

|D ∩ E ∩ F| = 30 - 20 - 15 - 10 + 8 + 8 + 8
|D ∩ E ∩ F| = 13

Таким образом, 13 человек изучают все три языка - английский, французский и немецкий.