Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: x=4-y^2, x=y^2-2*y

Answer 1

Ясно, что если переобозначить в привычное 

y = 4 - x^2;

y = x^2 - 2*x;

то площадь не поменяется. :))) Я так дальше и буду обозначать.

Далее, не трудно найти (4 - x^2 = x^2 - 2*x), где параболы пересекаются - при x = -1 и x = 2, причем при x = 2 точка пересечения (2, 0) лежит прямо на оси X (при x = -1;  (-1; 3)) 

Легко сообразить, что надо взять интеграл в промежутке (-1, 2) от разности

(4 - x^2)- (x^2 - 2*x) = 4 + 2*x - 2*x^2;

(кому трудно сообразить, разбейте область на 2 части (-1,0) и (0,2))

Первообразная F(x) = 4*x + x^2 - 2*x^3/3 + C (С - произвольное число), искомая площадь равна F(2) - F(-1) = 20/3 + 7/3 = 9;

Answer 2

4-y²=y²-2y

2y²-2y-4=0

y²-y-2=0

y²+y-2y-2=0

y(y+1)-2(y+1)=0

(y-2)(y+1)=0

y=2 ∨ y=-1

$\\\int \limits_{-1}^2(4-y^2-(y^2-2y))\, dy=\\ \int \limits_{-1}^2(-2y^2+2y+4)\, dy=\\ \Big[-\frac{2y^3}{3}+y^2+4y\Big]_{-1}^2=\\ -\frac{2\cdot2^3}{3}+2^2+4\cdot2-(-\frac{2\cdot(-1)^3}{3}+(-1)^2+4\cdot(-1))=\\ -\frac{16}{3}+4+8-(\frac{2}{3}+1-4)=\\ -\frac{16}{3}+\frac{12}{3}+\frac{24}{3}-(\frac{2}{3}+\frac{3}{3}-\frac{12}{3})=\\ \frac{20}{3}-(-\frac{7}{3})=\\ \frac{20}{3}+\frac{7}{3}=\\ \frac{27}{3}=\\ 9$