Question

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Answer 1

$y = \frac{x}{\sqrt{C+ln|x|} }$

или так

$y^2 = \frac{x^2}{C+ln|x| }$

Пошаговое объяснение:

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

$2x^3y' = y(2x^2-y^2)$

$2x^3y' = 2x^2y-y^3$

$2y' = 2y/x-(y/x)^3$

Получили однородное дифференциальное уравнение

Проводим замену приводящую к уравнению с разделяющимися переменными  

у = xt(x)            y’ = t + xt’

               2(t + xt’) = 2t – t³

                      2xt’ =  – t³

                    2t’/t³ = -1/x

                    $2\frac{dt}{t^3}=-\frac{dx}{x}$

Интегрируем  обе части уравнения

             $2\int\limits{\frac{1}{t^3} } \, dt =-\int\limits {\frac{1}{x} } \, dx$

             $-\frac{1}{t^2} =-ln|x|-C$

                $t^2=\frac{1}{C+ln|x|}$

               $t=\frac{1}{\sqrt{C+ln|x|} }$

Находим переменную у

$y = x\cdot t=\frac{x}{\sqrt{C+ln|x|} }$

Получили общее решение диф. уравнения