Question

1)Найдите корень уравнения: cos Пи(8х+4)/3=1/2 В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

2)Найдите корень уравнения: cos Пи(8х-6)/3=1/2 В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

3)Найдите корень уравнения: cos Пи(4х-8)/3=1/2 В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

4)Найдите корень уравнения: cos Пи(4х-2)/3=1/2 В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

5)Решите уравнение sin Пи(8х+1)/3=корень 3/2 В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

6)Решите уравнение sin Пи(8х+5)/6=корень 3/2 В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Answer 1

1)

$\cos{(\frac{\pi\cdot (8x+4)}{3})}=\frac{1}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (8x+4)}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{8x+4}{3}=\pm \frac{1}{3}+2n, \ n\in Z \\ \\ 8x+4=\pm 1+6n, \ n\in Z \\ \\ 8x_1 =-3+6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ 8x_2 = -5+6n, \ n\in Z \\ \\ x_1=-\frac{3}{8}+\frac{3}{4}n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ x_2=-\frac{5}{8}+\frac{3}{4}n, \ n\in Z\\ \\ x_1=\frac{3}{8}\cdot (2n-1), \ n\in Z; \ \ \ x_2=\frac{1}{8}\cdot (6n-5), \ n\in Z$

$x_1=\frac{3}{8}\cdot (-1); \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}\cdot (-5)\\ \\ x_1=-\frac{3}{8}; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-\frac{5}{8} \\ \\ x=-\frac{3}{8}$

2)

$\cos{(\frac{\pi\cdot (8x-6)}{3})}=\frac{1}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (8x-6)}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{8x-6}{3}=\pm \frac{1}{3}+2n, \ n\in Z \\ \\ 8x-6=\pm 1+6n, \ n\in Z \\ \\ 8x_1 =7+6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ 8x_2 = 5+6n, \ n\in Z \\ \\ x_1=\frac{7}{8}+\frac{3}{4}n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{5}{8}+\frac{3}{4}n, \ n\in Z\\ \\ x_1=\frac{1}{8}\cdot (7+6n), \ n\in Z; \ \ \ x_2=\frac{1}{8}\cdot (5+6n), \ n\in Z$

$x_1=\frac{1}{8}\cdot (7+6\cdot (-2))=\frac{1}{8}\cdot (-5)=-\frac{5}{8} \\ \\ x_2=\frac{1}{8}\cdot (5+6\cdot (-1))=\frac{1}{8}\cdot (-1)=- \frac{1}{8}\\ \\ x=- \frac{1}{8}$

3)

$\cos{(\frac{\pi\cdot (4x-8)}{3})}=\frac{1}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (4x-8)}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{4x-8}{3}=\pm \frac{1}{3}+2n, \ n\in Z \\ \\ 4x-8=\pm 1+6n, \ n\in Z \\ \\ 4x_1 =9+6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ 4x_2 = 7+6n, \ n\in Z \\ \\ x_1=\frac{9}{4}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{7}{4}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z\\ \\ x_1=\frac{3}{4}\cdot (3+2n), \ n\in Z; \ \ \ x_2=\frac{1}{4}\cdot (7+6n), \ n\in Z$

$x_1 =\frac{3}{4}\cdot (3+2\cdot (-2))=\frac{3}{4}\cdot (-1)=-\frac{3}{4} \\ \\ x_2=\frac{1}{4}\cdot (7+6\cdot (-2))=\frac{1}{4}\cdot (-5)=-\frac{5}{4} \\ \\ x=-\frac{3}{4}$

4)

$\cos{(\frac{\pi\cdot (4x-2)}{3})}=\frac{1}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (4x-2)}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{4x-2}{3}=\pm \frac{1}{3}+2n, \ n\in Z \\ \\ 4x-2=\pm 1+6n, \ n\in Z \\ \\ 4x_1 =3+6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ 4x_2 = 1+6n, \ n\in Z \\ \\ x_1=\frac{3}{4}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z\\ \\ x_1=\frac{3}{4}\cdot (1+2n), \ n\in Z; \ \ \ x_2=\frac{1}{4}\cdot (1+6n), \ n\in Z$

$x_1=\frac{3}{4}\cdot (1+2\cdot (-1))=\frac{3}{4}\cdot (-1)=-\frac{3}{4} \\ \\ x_2=\frac{1}{4}\cdot (1+6\cdot (-1))=\frac{1}{4}\cdot (-5)=-\frac{5}{4} \\ \\ x=-\frac{3}{4}$

5)

$\sin(\frac{\pi\cdot (8x+1)}{3})}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (8x_1+1)}{3}= \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \frac{\pi\cdot (8x_2+1)}{3}= \frac{2\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{8x_1+1}{3}=\frac{1}{3}+2n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{8x_2+1}{3}=\frac{2}{3}+2n, \ n\in Z\\\\ 8x_1+1=1+6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x_2+1=2+6n, \ n \in Z\\ \\ 8x_1=6n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x_2=1+6n, \ n\in Z$

$x_1=\frac{3}{4}n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}+\frac{3}{4}n, \ n\in Z \\ \\ x_1=\frac{3}{4}n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}\cdot (1+6n), \ n\in Z$

$x_1=\frac{3}{4}\cdot (-1)=-\frac{3}{4} \\ \\ x_2=\frac{1}{8}\cdot (1+6\cdot (-1))=\frac{1}{8}\cdot (-5)=-\frac{5}{8} \\ \\ x=-\frac{3}{4}$

6)

$\sin(\frac{\pi\cdot (8x+5)}{6})}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \frac{\pi\cdot (8x_1+5)}{6}= \frac{\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \frac{\pi\cdot (8x_2+5)}{6}= \frac{2\pi}{3}+2\pi n, \ n \in Z \\ \\ \frac{8x_1+5}{6}=\frac{1}{3}+2n, \ n \in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{8x_2+5}{6}=\frac{2}{3}+2n, \ n\in Z\\\\ 8x_1+5=2+12n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x_2+5=4+12n, \ n \in Z\\ \\ 8x_1=-3+12n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x_2=-1+12n, \ n\in Z$

$x_1 = -\frac{3}{8}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=-\frac{1}{8}+\frac{3}{2}n, \ n\in Z \\ \\ x_1=\frac{3}{8}\cdot (4n-1), \ n\in Z; \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=\frac{1}{8}\cdot(12n-1), \ n\in Z$

$x_1=\frac{3}{8}\cdot (4\cdot 0 -1)=-\frac{3}{8} \\ \\ x_2=\frac{1}{8}\cdot (12\cdot0 -1)=-\frac{1}{8} \\ \\ x=-\frac{1}{8}$