Question

Найти решения дифференциального уравнения (1-х)dy-(y-1)dx=0
2
Решить однородное дифференциальное уравнения

(х+у)у'+у=0

Answer 1

$1)\ \ (1-x)\, dy-(y-1)\, dx=0\\\\\int \dfrac{dy}{y-1}=\int \dfrac{dx}{1-x}\ \ ,\ \ \ \ln|y-1|=-ln|1-x|+lnC\\\\y-x=\dfrac{C}{1-x}\ \ ,\ \ \ \ \boxed{\ y=x+\dfrac{C}{1-x}\ }$

$2)\ \ (x+y)\, y'+y=0\ \ ,\ \ \ \ y'=-\dfrac{y}{x+y}\\\\u=\dfrac{y}{x}\ \ ,\ \ y=ux\ ,\ \ y'=u'x+u\\\\u'x+u=-\dfrac{ux}{x+ux}\ \ ,\ \ \ u'x+u=-\dfrac{u}{1+u}\ \ ,\ \ \ u'x=-u-\dfrac{u}{1+u}\ ,\\\\u'x=\dfrac{-u(1+u)-u}{1+u}\ \ ,\ \ \ u'x=-\dfrac{u^2+2u}{1+u}\ \ ,\ \ \dfrac{du}{dx}=-\dfrac{u(u+2)}{x\cdot (1+u)}\\\\\\\int \dfrac{(1+u)\, du}{u(u+2)}=\int \dfrac{dx}{x}\\\\\\\int \dfrac{(1+u)\, du}{u(u+2)}=\int \Big(\dfrac{1}{2u}+\dfrac{1}{2(u+2)}\Big)\, dx=\dfrac{1}{2}\, ln|u|+\dfrac{1}{2}\, ln|u+2|+C_1$

$\dfrac{1}{2}\, ln\Big|\dfrac{y}{x}\Big|+\dfrac{1}{2}\, ln\Big|\dfrac{y}{x}+2\Big|=ln|x|+lnC\\\\\\\boxed{\ \sqrt{\dfrac{y}{x}}+\sqrt{\dfrac{y}{x}+ \2}=Cx}$