Question

Решить, ! 1) найти наклонную асимптоту у=kx+b графика функции f(x)=√4x^2+3x-5 при х стремящемуся к + ∞. в ответе укажите k+b 2) напишите уравнение касательной y=kx+b к рафику функции f(x)=-x^3-2x^2+x в точке а=2. в ответе укажите k+b
3)используя формулу маклорена для f(x)=е^x до 2-го порядка, вычислите приближенно e^-0.1 4)вычислите площадь фигуры, ограниченной прямйой у=-х+14 и гиперболой у=65/(х+4) 5) найдите производную функции f(x,y)= (2x+2y)/(-x-3y) в точке а(2,-1)
в направлении вектора е=(-5,1) 6)исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=-5x^2+y^2-4xy+26x-4y. в ответе укажите сумму координат точек экстремума

Answer 1

1)

$k=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2+3x-5}}{x}=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4+\frac{3}{x}-\frac{5}{x^2}}=2$

$b=\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2+3x-5}-2x=\lim_{x \to \infty} \frac{x(3-\frac{5}{x})}{x(2+\sqrt{4+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}})}=\frac{3}{4}$

ответ: b+k=2+3/4=11/4

2) y=f(a)+f'(a)(x-a)

f(x)=-x³-2x²+x  f(2)=-14

f'(x)=-3x²-4x+1

f'(2)=-19

y=-19x+24

ответ: k+b=-19+24=5

3) f(x)=e^x

$e^{-0,1}=1+(-0,1)+0,005=0,905$

4) Найдем точки пересечения графиков

65/(x+4)=14-x

-x²+10x-9=0

x₁=1 x₂=9

$S=\int\limits^9_1 {14-x-\frac{65}{x+4}} \, dx=14x-\frac{x^2}{2}-65ln(x+4)|_1^9=72-65ln\frac{13}{5}$

5) $\frac{df}{dx}=-\frac{4y}{(x+3y)^2}, \frac{df}{dy}=\frac{4x}{(x+3y)^2}$

$f'_x(A)=4, f'_y(A)=-4$

Направляющий вектор {-5/√26, 1/√26}

ответ: 4(-5/√26)-4/√26 = -24/√26