Question

Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. y''+4y'+5y=0, если y=-3, y'=0 при x=0
​

Answer 1

$y'' + 4y'+ 5y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} (k {}^{2} + 4k + 5) = 0 \\ D = 16 - 20 = - 4 \\ k_1 = \frac{ - 4 + \sqrt{ - 4} }{2} = \frac{ - 4 + 2i}{2} = - 2 + i\\ k_2 = - 2 - i \\ y = {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) )$

общее решение

$y(0) = - 3,y'(0) = 0$

$y' = - 2 {e}^{ - 2x} (C_1 \sin(x) + C_2 \cos(x) ) + {e}^{ - 2x} (C_1 \cos(x) - C_2 \sin(x)) = \\ = e {}^{ - 2x} (( - 2C_1 - C_2) \sin(x) + ( - 2C_2 + C_1) \cos(x) )$

система:

$\begin{cases} - 3 = C_2 & \\C_1 - 2C_2 = 0& \end{cases}\\\\\begin{cases}C_2 = - 3& \\C_1 = 2C_2 = - 6 & \end{cases}$

$y = {e}^{ - 2x} ( - 6 \sin(x) - 3 \cos(x)) = \\ = - 3 {e}^{ - 2x} (2 \sin(x) + \cos(x))$

частное решение