Question

Решить, : 1) найти вертикальные асимптоты х=а графика функции: а) f(x)=ln(1+ (-6)/(x- б) f(x)=(4x^3+4x^2+4x)/(x^2-5x+6) в ответе укажите в ответе укажите сумму всевозможных значений a 2)используя формулу маклорена для f(x)= 9√(1+х) до 2-го
порядка, вычислите приближенно 9√1,4 (9-это степень корня) 3)для функции f(x)=(4x+5)/ (x-5)^3. найдите точку локального экстремума 4) для функции f(x)=(2х+6)/(х^2-5) найдите точки х=а локального минимума. в ответе укажите сумму
всевозможных значений а. 5) вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) прямой у=6х-4 и параболой у=х^2+5x-6 б) прямой у=-х+7 и параболой у=х^2-x+3 6) найти производную функции: а) f(x,y)= (-5х-2у)/(х+3у) в точке а(-3; 4) в направлении
вектора e=(1,3) б) f(x,y)= (x-y)arctg(2x+y) в точке а(-1,2) в направлении вектора е=(-2,-5) 7)исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=x^2-y^2-4xy-10x-20y. в ответе укажите сумму координат точек экстремума.

Answer 1

Приступим к уроку мат. анализа

1)

a) Для поиска вертикальных асимптот нужно рассмотреть односторонние пределы в окрестностях несуществования функции

$f(x)=\frac{x-9}{x-3}$

$\lim_{x \to 3-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=-\infty$

x=3 - вертикальная асимптота

$]\lim_{x \to 9-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 9+0} f(x)=+\infty$

x=9 - вертикальная асимптота

ответ: 12

б) $f(x)=\frac{4x(x^2+x+1)}{(x-2)(x-3)}$

$\lim_{x \to 0-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 0+0} f(x)=+\infty$

$\lim_{x \to 2-0} f(x)=+\infty, \lim_{x \to 2+0} f(x)=-\infty$

$\lim_{x \to 3-0} f(x)=-\infty, \lim_{x \to 3+0} f(x)=+\infty$

x=0, x=2, x=3 - вертикальные асимптоты

ответ: 5

________________________________________________________________________

2) $\sqrt[9]{x+1}=1+\frac{1}{9}x+\frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{9}-1)}{2}x^2$

$\sqrt[9]{1+0,4}=1+1/9-(4/81)*0,4^2=2099/2025\approx1,037$

________________________________________________________________________

3)$f(x)=\frac{4x+5}{(x-5)^3}$

$f'(x)=\frac{-8x-35}{(x-5)^4}$

x=-35/8

При переходе через эту точку производная меняет свой знак c + на -, т.е. это точка локального максимума

ответ: -4,375

________________________________________________________________________

4)$f(x)=\frac{2x+6}{x^2-5}$

$f'(x)=\frac{-2(x^2+6x+5)}{(x-\sqrt{5})^2(x+\sqrt{5})^2}$

критические точки = x=-√5, x=√5, x=-1, x=-5

производная меняет свой знак с - на + в точке x=-5 - точка лок. минимума

ответ: -5

________________________________________________________________________

5)

а) Найдем точки пересечения

    6x-4=x²+5x-6

    x²-x-2=0

x₁=-1 x₂=2

$S=\int\limits^{2}_{-1} {2+x-x^2} \, dx=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}|_{-1}^2= 9/2$

б) Точки пересечения

   -x+7=x²-x+3

    x²-4=0

x₁=-2, x₂=2

$\int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx=4x-\frac{x^3}{3}|_{-2}^2=\frac{32}{3}$

________________________________________________________________________

6)

a) $f(x,y)=\frac{-5x-2y}{x+3y}$

    $f_x^{'}=\frac{-13y}{(x+3y)^2}, f'_x(A)=-\frac{52}{81}$

    $f'_y=\frac{13x}{(x+3y)^2}, f'_y(A)=-\frac{39}{81}$

направляющий вектор {1/√10, 3/√10}

$f'_e=-\frac{169}{81\sqrt{10}}$

б) $f(x, y) = (x-y)arctg(2x+y)$

    $f'_x=arctg(2x+y)+\frac{2(x-y)}{1+(2x+y)^2}, f'_x(A)=-6$

    $f'_y=-arctg(2x+y)+\frac{x-y}{1+(2x+y)^2}, f'_y(A)=-3$

направляющий вектор {-2/√29, -5/√29}

$f'_e=\frac{27}{\sqrt{29}}$

_______________________________________________________________________

7) $f'_x=2x-4y-10=0, f'_y=-2y-4x-20=0$

x=-3, y=-4 - стационарная точка

$f''_{xx}=20, f''_{xy}=-4, f''_{yy}=-2$

$\left[\begin{array}{cc}2&-4\\-4&-2\end{array}\right]=-20<0$

экстремумов нет