Question

Найти определенные интегралы
По-моему в, нужно решить методом замены:(не пойму как​

Answer 1

a

$\int\limits^{ 2 } _ { - 1}(16 {x}^{3} + 9 {x}^{2} - 12x + 1)dx = \\ = ( \frac{16 {x}^{4} }{4} + \frac{9 {x}^{3} }{3} - \frac{12 {x}^{2} }{2} + x)|^{ 2 } _ { - 1} = \\ = (4 {x}^{4} + 3 {x}^{3} - 6 {x}^{2} + x)|^{ 2 } _ { - 1} = \\ = 4 \times 16 + 3 \times 8 - 6 \times 4 + 2 - (4 - 3 - 6 - 1) = \\ = 64 + 24 - 24 + 2 + 6 = \\ = 64 + 8 = 72$

2

$\int\limits^{ 3\pi } _ { \frac{ \pi }{12} } \cos( \frac{x}{3} )dx = 3 \int\limits^{ 3\pi} _ { \frac{\pi}{12} } \cos( \frac{x}{3} ) d ( \frac{x}{3} ) = \\ =3 \sin( \frac{x}{3} ) |^{ 3\pi} _ { \frac{\pi}{12} } = 3( \sin(\pi) - \sin( \frac{\pi}{36} ) ) = - 3 \sin(\frac{\pi}{36} )$

3

$\int\limits^{ e} _ {0} \frac{dx}{e {}^{x} + 1} \\ \\ \text{Замена:} \\ {e}^{x} + 1 = t \\ e {}^{x} = t - 1\\ ( {e}^{x} + 1)'dx = dt \\ e {}^{x} dx = dt \\ dx = \frac{dt}{e {}^{x} } = \frac{dt}{t - 1} \\ t_1 = {e}^{e} + 1 \\ t_2 = e {}^{0} + 1 = 1 + 1 = 2 \\ \\ \int\limits^{ {e}^{e} + 1 } _ {2} \frac{dt}{t(t - 1)} \\ \\ \text{Разложим на простейшие дроби:} \\ \frac{1}{t( t - 1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{ t- 1} \\ 1 = A(t - 1) + Bt \\ 1 = At - A+ Bt \\ \\ \left \{ {{0 = A + B} \atop {1 = - A} } \right. \\ \\ \left \{ {{A = - 1} \atop {B = - A = 1} } \right. \\ \\ \text{Получаем:} \\ \int\limits^{ {e}^{e} + 1} _ {2} \frac{ - dt}{t} + \int\limits^{ {e}^{e} + 1 } _ {2} \frac{dt}{t - 1} = \\ = ( - ln |t| + ln |t - 1| ) |^{ {e}^{e} + 1 } _ {2} = \\ = - ln ({e}^{e} + 1 ) + ln ({e}^{e} + 1 - 1 ) + ln(2) - ln(2 - 1) = \\ = - ln( {e}^{e} + 1) + e + ln(2) - 0 = \\ = e + ln( \frac{2}{ {e}^{e} + 1 } )$