, где p и q - натуральные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что x<n, y<n. Если x=y, то, разделив обе части на 
, получим уравнение 
. Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, рассмотрим случай, когда x≠y, в силу симметрии можно считать, что x<y. Разделив уравнение на , имеем 
. Первое слагаемое не делится на 3, второе и третье делятся, получили противоречие.
Воссоздание подлинного образа хана Баяна, этого могучего правителя, как впрочем, и всей истории Аварского каганата, давно ждет своих исследователей.
При реконструкции истории Аварского каганата многое достигается с археологии. Данные археологии последних десятилетий XX-начала ХХI вв. свидетельствуют о хозяйстве, ремеслах, материальной культуре Аварского каганата. Авары принесли с востока два связанных друг с другом нововведения: железные стремена и сабли однолезвийные, слегка изогнутые клинки, предназначенные для нанесения скользящего удара. Со времени кагана Баяна, археологии последних десятилетий XX в. известны богатые захоронения вождей, знатных людей, в частности, в районах между Тиссой и Дунаем.