Question

Обчислити площу фігури обмеженої лініями y=√x y=0,5x

Answer 1

$\sqrt{x}=0,5x \\ \\ \sqrt{x}=\frac{1}{2}x \ \ \ |^2 \\ \\ x=\frac{1}{4}x^2\\ \\ \frac{1}{4}x^2-x=0 \\ \\ x\cdot (\frac{1}{4}x-1)=0\\ \\ x_1=0; \ \ \ \ \frac{1}{4}x_2-1=0 \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{4}x_2=1 \\ \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ x_2=4$

$\int\limits^4_0 {(\sqrt{x}-0,5x)} \, dx =\int\limits^4_0 {(x^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x)} \, dx =(\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2})|^4_0=(\frac{2\sqrt{x^3} }{3}-\frac{x^2}{4})|^4_0= \\ \\ = (\frac{2\cdot \sqrt{4^3}}{3}-\frac{4^2}{4})-0=\frac{2\cdot \sqrt{64}}{3}-4=\frac{2\cdot 8}{3}-4=\frac{16}{3}-4=\frac{16-12}{3}=\frac{4}{3} \ cm^2$