Question

Найти общее решение уравнения Бернулли​

Answer 1

$y' - 2y = {y}^{2} {e}^{ - x} \: \: \: | \div {y}^{2} \\ \frac{y'}{ {y}^{2} } - \frac{2}{y} = {e}^{ - x} \\ \\ \frac{1}{y} = z \\ z' = - {y}^{ - 2} \times y' \\ \frac{y'}{ {y}^{2} } = - z '\\ \\ - z' - 2z = {e}^{ - x} \\ z' + 2z = - e {}^{ - x} \\ \\ z = uv \\ z' = u'v + v'u \\ \\ u'v + v'u + 2uv = - {e}^{ - x} \\ \\ 1)v '+ 2v = 0 \\ \frac{dv}{dx} = - 2v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = - \int\limits \: dx \\ ln |v| = - x \\ v = {e}^{ - x} \\\\ 2)u'v = - {e}^{ - x} \\ \frac{du}{dx} \times {e}^{ - x} = - e {}^{ - x} \\ u = - \int\limits \: dx \\ u = - x + C \\ \\ z = {e}^{ - x} (C - x) \\ \frac{1}{y} = {e}^{ - x} (C- x) = Ce {}^{ - x} - xe {}^{ - x}$

общее решение