Question

Вышмат
доказать неравенство :1) |cosx-cosy|<=|x-y|
2)|sinx-siny|<=|x-y|

Answer 1

Для доказательства данных неравенств, давайте разберемся в основных свойствах модуля и тригонометрических функций.

1) Начнем с первого неравенства: |cosx - cosy| <= |x - y|

Для начала, давайте посмотрим на графики функций cosx и x на отрезке от 0 до π.

1) График функции cosx:

1 | + o
sinx | +
| *
0 _______________o_____________________________π
0 π/2 π

2) График функции y = x:

+
*
+ __/
__/ .
____/x
|
0 _______________o_______________________π
0 π/2 π

Рассмотрим разность этих функций: cosx - x

Если мы наложим графики один на другой, то увидим, что график разности будет положительным на отрезке (0, π/2) и отрицательным на отрезке (π/2, π).

Отсюда следует, что неравенство |cosx - x| <= |x - y| выполнено для всех x и y на отрезке [0,π].

2) Перейдем ко второму неравенству: |sinx - siny| <= |x - y|

Снова посмотрим на графики функций sinx и x на отрезке от 0 до π.

1) График функции sinx:

1 _______o_______________________________________π
+
*|
/ |
+ |
| |
0 __________|___|__________o_____________________π
0 π/2 π

2) График функции y = x:

+
*
+ __/|
__/ . |
____/x |
| |
0 _______________o_________________________π
0 π/2 π

Рассмотрим разность этих функций: sinx - x

Если мы наложим графики один на другой, то увидим, что график разности будет положительным на отрезке (0, π/2) и отрицательным на отрезке (π/2, π).

Отсюда следует, что неравенство |sinx - x| <= |x - y| также выполняется для всех x и y на отрезке [0,π].

Таким образом, мы доказали, что оба данных неравенства верны для всех x и y на отрезке [0,π].