Question

Найдите производную функции f в точке x0 по определению если f(x)=3x в кубе при x0=1

Answer 1

Добрый день!

Чтобы найти производную функции f в точке x0 по определению, сначала нам нужно определить само значение функции при данной точке.

Дано:
f(x) = 3x^3,
x0 = 1.

Значит, нам нужно найти производную функции f(x) в точке x=1. Для этого используем определение производной:

f'(x) = lim(h->0) [(f(x0 + h) - f(x0))/h].

Здесь х0 - точка, в которой мы ищем производную, h - малая прирост переменной х.

Подставим значения из нашей задачи:

x0 = 1,
f(x) = 3x^3.

Теперь заменим х на (x0 + h):

f(x0 + h) = 3(x0 + h)^3.

Выполним раскрытие скобок:

f(x0 + h) = 3(1 + h)^3.

Теперь мы можем продолжить вычисления:

f(x0) = 3(1^3) = 3.

f(x0 + h) = 3(1 + h)^3.

Теперь воспользуемся полученными значениями функции и продолжим вычисления:

f'(x) = lim(h->0) [(f(x0 + h) - f(x0))/h].

f'(x) = lim(h->0) [(3(1 + h)^3 - 3)/h].

Далее преобразуем числитель дроби:

f'(x) = lim(h->0) [(3(1 + 3h + 3h^2 + h^3) - 3)/h].

f'(x) = lim(h->0) [(3 + 9h + 9h^2 + 3h^3 - 3)/h].

f'(x) = lim(h->0) [(9h + 9h^2 + 3h^3)/h].

Разделим числитель и знаменатель дроби на h:

f'(x) = lim(h->0) [9 + 9h + 3h^2].

Теперь подставим h = 0 и посчитаем предел:

f'(x) = 9 + 9(0) + 3(0)^2.

f'(x) = 9 + 0 + 3(0).

f'(x) = 9.

Итак, производная функции f(x) = 3x^3 в точке x0 = 1 по определению равна 9.

Обрати внимание, что мы использовали определение производной и последовательно выполняли все необходимые шаги, чтобы ответ был понятен и понятен школьнику.